基于多目標優化的防空武器攔截方案設計方法

賴文星，賈 軍，鮑 然，丁士洲

(上海機電工程研究所，上海 201109)

0 引 言

現代化空襲作戰由包括巡航導彈、彈道導彈、制導炸彈、轟炸機、攻擊機、直升機在內的多種武器相互配合完成，傳統防空武器攔截方案設計方法難以適應全天候、全空域、多層次、飽和式的空襲模式。目前，防空武器攔截方案設計方法尚未形成一套完善的理論體系，大部分研究僅針對特定實際問題，依據一定的假設準則建立優化數學模型，難以同時實現防空效能與攔截成本的最優化。

文獻[1]將要地防空區域網格化，建立以防御貢獻程度為目標的單目標優化模型，并采用Memetic算法進行求解，最終實現網絡化火控系統下對防空武器單元的優化。文獻[2]基于排隊論的敵方空襲目標突防概率計算方法，建立以防空覆蓋程度、武器密集程度、防線劃分為優化目標的多目標優化模型，最終獲得滿足部署地形條件、防空網絡完整覆蓋的扇形要地防空攔截方案，但扇形要地防空適應范圍受限。文獻[3]以防空部署均勻程度、防空攔截縱深、防空部署前伸、防空掩護部署、防空武器接力制導為優化目標，建立多層次攔截防線、靠前均勻部署、縱深掩護制導的高維要地防空武器攔截的數學模型，但僅僅考慮防空能力并未考慮部署成本。在考慮防空武器性能參數、部署地形條件約束、敵方來襲目標的進攻方式等條件下，當前已有的數學模型可靠度不高、算法優化結果不理想，還有待進一步深入研究。

針對由多種類型(遠程、中程、近程等)防空武器混編構成的火力攔截體系，本文通過建立防空武器多目標攔截方案的數學模型，采用NSGA-II多目標進化算法進行求解，最終獲得同時滿足空襲目標突防概率最小化和攔截成本最小化的防空武器攔截方案。

1 防空武器攔截方案多目標優化模型

1.1 攻防雙方基本假設

防御方在保衛目標周圍混合部署著m種不同類型的防空武器M1,M2,…,Mm，每種類型的防空武器數量分別為X1,X2,…,Xm。進攻方由n種不同類型空襲目標T1,T2,…,Tn執行一體化飽和式空襲任務，每種類型的空襲目標數量分別為N1,N2,…,Nn，并且同一類型的空襲目標編隊飛行。不同防空武器對不同空襲目標的殺傷概率如表1所示。

表1 各類防空武器對空襲目標的殺傷概率

不同類型防空武器對同一類型空襲目標的單個目標的攔截次數假設如表2所示。

表2 各類防空武器對空襲目標的攔截次數Tab.2 The interception numbers of air defense weapons against air strike targets

1.2 單類型空襲目標突防建模

某一類型防空武器Mi對1個某一類型空襲目標Tj的殺傷概率為pij，進行xij次攔截。該空襲目標存活概率為(1-pij)xij，被摧毀概率為1-(1-pij)xij，其狀態轉移矩陣為

(1)

Nj個某一類型空襲目標Tj分別經過某一類型防空武器Mi的xij次攔截后，空襲目標存活數量隨機變化類似馬爾科夫過程[4]，其狀態轉移矩陣為

(2)

式中，Zr,s表示r個某一類型空襲目標Tj經過某一類型防空武器Mi的xij次攔截后存活數量為s個的概率。空襲目標存活數量概率隨機變化滿足二項分布，其計算公式為

(3)

1.3 多類型空襲目標突防建模

按照1.2節的計算方法，n種不同類型的空襲目標T1,T2,…,Tn，分別經過m種不同類型的防空武器M1,M2,…,Mm的攔截后，每種類型空襲目標的突防概率分別為1-A01×A11×…Am1×e1，1-A02×A12×…Am2×e2，…，1-A0n×A1n×…Amn×en。

若空襲目標T1,T2,…,Tn的威脅值分別為W1,W2,…,Wn，則敵方全部類型空襲目標的總體突防威脅值計算公式為

f1=W1(1-A01×A11×…Am1×e1)+W2(1-A02×A12×…Am2×e2)+…+Wn(1-A0n×A1n×…Amn×en)

(4)

若防空武器M1,M2,…,Mm的單次攔截成本分別為C1,C2,…,Cm，則防空武器總體防御成本為

(5)

1.4 攔截方案的多目標優化模型

以敵方空襲目標的總體突防威脅值最小化和防空武器的總體防御成本最小化為優化目標，建立防空攔截方案的多目標優化數學模型，即

minf1=W1(1-A01×A11×…Am1×e1)+W2(1-A02×A12×…Am2×e2)+…+Wn(1-A0n×A1n×…Amn×en)

(6)

式中，xijmin、xijmax分別是Mi型防空武器對Tj型空襲目標攔截次數xij的最小值和最大值，可根據防空武器的戰技指標和部署情況進行設置。

2 多目標優化算法

2.1 多目標優化

2.1.1多目標優化問題

多目標優化問題由決策變量、目標函數、約束條件3個部分組成，數學表達為[5]

minf(x)=[f1(x),f2(x),…,fn(x)](n=1,2,…,N)

(7)

s.t.

式中：x為決策變量；f(x)為目標函數；D為決策變量數量；N為目標函數數量；g(x)為不等式約束條件；h(x)為等式約束條件；xd_max和xd_min為決策變量的上下界。

2.1.2Pareto優化定義

Pareto優化是一種對多目標優化問題解集的比較評價方式，通過多目標優化算法求解多目標優化問題的過程是尋找Pareto解集的過程[6]。Pareto優化概念的相關定義如下：

定義2：當f(x*)與f(x)滿足以下條件，對?n,fn(x*)≤fn(x)(n=1,2,…,N)且?n0,fn0(x*)

定義3：當且僅當在變量可行域內不存在x，使得fn(x)≤fn(x*)(n=1,2,…,N)，稱x*為非支配最優解，但是絕大部分多目標優化問題都不存在全局最優解；

定義4：Pareto解集又稱非支配解集，是所有非支配解構成的集合。Pareto邊界是由Pareto解集對應的目標函數構成的圖形，在空間中呈現為邊界線或邊界面。

2.2 NSGA-II多目標進化算法

本文采用的NSGA-II是一種基于Pareto優化理論的多目標進化算法，憑借簡單、高效等優點，成為求解多目標優化問題的熱門算法之一。NSGA-II由快速非支配排序、擁擠距離比較、精英保留策略、進化操作組成。

1) 快速非支配排序與擁擠距離比較

NSGA-II采用快速非支配排序，計算復雜度降為mN2[7]，并采用基于擁擠距離的分布性保持方法，需要計算非支配集中個體的擁擠距離，其計算公式為

(8)

當種群全部個體完成快速非支配排序和擁擠距離計算之后，任意個體i都有兩個屬性：非支配層級ranki和擁擠距離Di。在NSGA-II中，先比較ranki，再比較Di。種群中任意兩個個體i和j，若滿足以下條件，則個體i優于個體j，優先獲得保留的機會。

{rankiDj}

(9)

2) 精英保留策略

為避免父代種群中精英個體在進化迭代過程中流失，NSGA-II將父代種群和子代種群混合，進行快速非支配排序和擁擠距離比較，從中篩選精英個體進入下一代種群[8]。

3) 進化操作

NSGA-II采用模擬二進制交叉和多項式變異產生子代個體。首先，從父代種群中隨機選取兩個個體P1、P2，若進入交叉操作，兩個子代個體Q1、Q2計算公式為

(10)

式中，β與隨機數μ∈[0,1]有關，計算公式為

(11)

式中，ηc為交叉分布指數，ηc越大，交叉互換產生的子代個體與父代個體越相近。

若進入變異操作，則從父代種群中隨機選取一個個體P3，變異產生一個子代個體Q3的計算公式為

(12)

式中：隨機數r∈[0,1]；xmax和xmin分別為變量x的上下限；ηm為變異分布指數,ηm是自定義參數，與ηc一樣，可以根據具體進化情況進行調整。

4) 算法流程

NSGA-II的算法流程基本步驟如下：

① 隨機初始化產生規模為N的第一代父代種群P1，由P1交叉互換產生規模為N的第一代子代種群Q1，將P1和Q1合并組成規模為2N的第一代混合種群R1，進入②；

② 對第t代混合種群Rt進行快速非支配排序和擁擠距離比較，從中篩選N個個體組成第t+1代父代種群Pt+1，由Pt+1交叉互換產生第t+1代子代種群Qt+1，進入③；

③ 判斷是否滿足進化終止條件，若滿足則退出進化，若不滿足則進入④；

④ 將Pt+1和Qt+1合并組成規模為2N的第t+1代混合種群，循環進入②。

3 算例仿真

本文以一個由遠程、中程、近程3種防空武器混合部署構成的防御體系和由低空巡航導彈、中空制導彈藥、高空作戰飛機組成的空襲體系為例，對面向多層次飽和式空襲模式的攔截方案進行多目標優化設計，以同時實現空襲目標總體突防威脅值最小化和防空武器總體防御成本最小化。

不同類型防空武器對不同類型空襲目標的殺傷概率、空襲目標數量、空襲目標威脅值如表3所示。

表3 防空武器和空襲目標輸入參數Tab.3 The input parameters of air defense weapons and air strike targets

遠程防空武器、中程防空武器、近程防空武器的單次攔截成本分別為200萬元、100萬元、50萬元。根據防空武器混合部署的實際情況，確定不同類型防空武器對不同空襲目標的最大攔截次數。本算例作如下假設：遠程防空武器對低空巡航導彈、中空制導彈藥、高空作戰飛機的最大攔截次數分別為1次、2次、3次；中程防空武器對低空巡航導彈、中空制導彈藥、高空作戰飛機的最大攔截次數分別為2次、2次、2次；近程防空武器對低空巡航導彈、中空制導彈藥、高空作戰飛機的最大攔截次數分別為1次、1次、1次。

根據式(6)，建立防空武器攔截方案的多目標優化數學模型，采用NSGA-II多目標進化算法求解。NSGA-II算法參數設置為：最大進化代數200，采用模擬二進制交叉和多項式變異的遺傳操作，交叉參數ηc=20，交叉概率Pc=0.9，變異分布指數ηm=20，變異概率Pm=0.1。計算結果如圖1所示。

如圖1所示，根據防空武器攔截方案多目標優化的Pareto解集，可以獲得遠程防空武器、中程防空武器、近程防空武器分別對低空巡航導彈、中空制導彈藥、高空作戰飛機的優化攔截次數，以及相應的空襲目標總體突防威脅值和防空武器總體防御成本。由于篇幅有限，選取圖中部分Pareto解集的結果進行分析，如表4所示，其中T1、T2、T3分別表示防空武器對低空巡航導彈、中空制導彈藥、高空作戰飛機的攔截次數。

圖1 防空攔截方案的多目標優化結果Fig.1 Multi-objective optimization results of air defense interception scheme

解集序號遠程防空武器中程防空武器近程防空武器T1T2T3T1T2T3T1T2T3突防威脅值防御成本(萬元)11232121112.7005185021122221103.0618150030122221114.0489135040112221116.4767115050112221108.35981100601122210010.52241050701121211012.61191000801121200025.0535900900221101025.90278501000212010025.99057501100121101131.18127001200111111134.43046501300111011144.55005501400111001163.66505001500011111169.60004501600110010177.355040017001100000107.030030018001000100117.1700250

由表4可知，隨著防空武器總體防御成本逐漸下降，空襲目標總體突防威脅值逐漸上升。根據圖1可知：當空襲目標總體突防威脅值f1從2.70緩慢增長至12.61時，防空武器總體防御成本f2從1 850萬元快速下降至1 000萬元；而當空襲目標總體突防威脅值f1從25.90快速增長至117.17時，防空武器總體防御成本f2從850萬元緩慢下降至250萬元。因此，工程人員可根據Pareto解集的變化，選擇空襲目標總體突防威脅值小幅增長、總體防御成本大幅下降的攔截方案。基于多目標優化的防空武器攔截方案設計方法，能提供多種滿足約束條件、總體突防威脅值最小化和總體防御成本最低化的解集，實際工程應用中可根據自身需求進行選擇。

此次算例仿真主要是為了驗證防空武器攔截方案多目標優化模型和NSGA-II多目標進化算法的應用，實際工程中可以根據實際情況更改空襲目標規模、種類、威脅值以及防空武器的規模、種類、殺傷概率、攔截次數、攔截成本、約束條件等參數。

4 結束語

本文建立了多種不同類型空襲目標通過多種防空武器混編防御體系的突防模型；構建了以總體突防威脅值最小化和總體防御成本最小化為目標的防空武器攔截方案多目標優化模型，并采用NSGA-II多目標進化算法進行求解。仿真結果表明，基于多目標優化的防空武器攔截方案提供了多種滿足約束條件的優化設計方案，可根據自身需求選擇合適的攔截方案，在提高防空體系作戰效能和抗飽打擊能力的同時，降低總體防御成本，為實際工程應用提供一定的借鑒和參考。