初中數學課堂教學“設問關鍵點”策略研究

浙江省杭州市余杭區臨平第三中學 余詠娟

一、問題的提出

課堂提問是數學教學中互動反饋的有效手段，是啟發式教學的有效形式，要把數學課上好、上出彩、上高效，不僅要有完整清晰的教學設計，還要有有效的問題設計與之相呼應。美國教學法專家斯特林·G·卡爾漢認為：“提問是教師促進學生思維、評價教學效果以及推動學生實現預期目標的基本控制手段?！比绻谡n堂中沒有高效的數學問題，沒有循序漸進的設問，課堂就會顯得比較單薄，顯得沒那么有靈氣；教師與學生的溝通會就會顯得呆板，沒那么生動；學生在課堂會也會學得比較機械，思維的深度會也會受到很大的影響。

有效的問題能使學生產生困惑，同時促使他們積極思考，從而發現新問題，并主動去解決新問題。所以，數學課堂教學應從問題開始，精心設計問題。在教學中要充分了解學生的數學知識能力水平，提出的問題要恰到好處，問題既不過分難，又不過分簡單，提出問題的方式要引起學生的興趣和好奇心，語言要有情趣，內容要有較豐富的直觀背景，要不斷引導學生多思、多問、多動手，促使學生的注意、記憶、思維高度凝聚，讓他們在注意力最集中、思維最活躍的狀態下進行嘗試和創造性學習。因此，筆者認為課堂問題的設計必須遵循一定的策略。

二、數學課堂中問題設計有效性具體操作中的幾點策略

1.課堂中設計有層次的問題,優化學生數學學習過程

問題的呈現應該有一定的層次，這樣有利于學生對問題的認識和對知識的不斷領悟，能激起學生思維的波瀾涌動。這樣的問題設計也符合維果斯基的“最近發展區理論”，該理論認為：學生的學習狀態有兩種水平，一種是目前已達到的水平，一種是潛在可能達到的水平，這兩種水平之間的距離就是最近發展區。教學中，我們的問題設計應該符合這樣的狀態，不要把問題拔得比較高，這樣不利于學生的學習，最好做到跳一跳能達到的狀態，這就需要老師在課堂中設計不同層次的問題把難度分解。

例如：某商場將進價為2000 元的冰箱以2400 元售出，平均每天能售出8 臺。為了配合國家“家電下鄉”政策的實施，商場決定采取適當的降價措施。調查表明，這種冰箱的售價每降低50 元，平均每天就能多售出4 臺。如果你是市場調研員，你將建議冰箱銷售價定為多少，使得商場獲利4800 元？盡可能多？說明理由。

為幫助學生解決問題,我們將問題分解，并設計出4 個小問題，層層深入。

問題1：如何理解冰箱銷售量與銷售定價之間的關系？

問題2：如何理解商場每天銷售冰箱獲得利潤與銷售定價之間的關系？

于是發現，冰箱銷售利潤與銷售定價之間滿足二次函數的關系。任取三個點的坐標值，代入二次函數關系式，可求出兩個解析式。

問題3：要使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到4800 元，每臺冰箱的定價應為多少元？

問題4：商場每天能獲得5000 元的利潤嗎？5200 元呢？試用所學知識進行說明。

根據上面問題中的式子中，令y=5000,y=5200,看所得到的方程是否有解來說明，或者是利用二次函數的最大值來說明。

通過這樣四個問題的分解，學生對這個習題有了系統的認識，進一步了解了方程與函數的關系。在求解的過程中解決了新問題，有利于突破二次函數在利潤問題中的應用，把低層次的知識變為高層次的知識，如此循環往復，可以使學生把數學的思想方法應用于現實中去。

2.在關聯點處設計深度的問題，新課一氣呵成

在學習新的知識時，學生要把新授課中的關聯點前后連接起來才能形成思路，但是學生往往在這些關聯點處出現思維障礙，不易形成連貫的思維。教師若能在受阻關聯點處設置合理的問題，引導學生由一個關聯點邁向另一個關聯點，新學的知識就會一氣呵成。

例如：證明命題“三角形的三個內角的和等于180°”是真命題。

已 知： ∠A、 ∠B、 ∠C為△ABC的三個內角，求證：∠A+∠B+∠C=180°。

學生很快就找到方法，過A點作直線MN∥BC，很快就證得。

問題1：你怎么想到“過A點作直線MN∥BC”？

問題2：還有其他轉移方法嗎？

學生：作射線BD，過C點作CE∥AB，如上圖，∵CE∥AB，∴ ∠1= ∠A， ∠2= ∠B， 而 ∠C+ ∠1+ ∠2=180 °，∴∠A+∠B+∠C=180°。

問題3：我們是否把頂點放在B處？我們可以通過作平行線把我們想要的角放在我們想要的位置，轉化為一個平角。

問題4：這個平角是否可以放在BC邊的任何位置呢？又該如何實現角度的轉移？

問題5：你們還有其他的思路嗎？本題解決問題的主要方法或數學思想是什么？

其實我們發現平角的頂點可以放在任何位置，它們共同的思路就是利用平行線的性質把三個角進行轉移。本題的三個思維關聯點是：（1）添加平行線；（2）平角頂點的任意性；（3）提煉轉化思想。問題1 引導學生認識平行線是轉化角的工具，初步體會轉化思想的應用。問題2、3、4 以作平行線為手段，把平角的頂點放在C點，B點，BC邊的任意位置，最后放在平面中的任意位置，到此，學生思維火花四射。

新課內容的關聯點并不多，如能在關聯點處精心設計問題，則可以起到畫龍點睛的作用，讓學生舉一反三，對數學思想與方法做到心領神會，融會貫通。

3.在發散點處設計合理的問題，做到數學思想方法的統一

在數學課堂中，教師要準確把握問題的發散點，并在發散點設計合理的問題，這樣可以達到以一當十的練習效果，有利于培養學生的發散性思維和創造性思維。通過對發散點的確立以及問題的追問，有利于學生對這類問題的深入了解，促使學生去歸納和整合，優化自己的知識結構。

例如：已知梯形的上底為8，下底為15，一腰長為6，則另一腰a的取值范圍為__________。

分析：這個題目的難點是取值范圍和作圖，其實范圍問題的核心還是腰a的值的幾何刻畫與代數刻畫。我們很快發現，代數刻畫按目前知識做不到，這樣自然想幾何刻畫，那我們馬上聯想到幾何長度的范圍在三角形中有，這里自然就有幾種畫法了。

問題1：是否可以考慮作輔助線？

本題的發散點：在梯形中如何去作輔助線，然后找到合理的三角形和最基本的四邊形（平行四邊形，正方形、矩形）？

問題2：你們能否用這個添輔助線的方法解決下面這個問題：如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，點E、F、G分別是BD、AC、DC的中點。已知梯形的兩底差是6，兩腰和是12，則△EFG的周長是______。

首先我們應該讓學生聚焦在周長上，我們很快發現兩條已經是中位線了，還有一條不是，那就要找三角形讓它也變成中位線，那連接BF就可以，學生就非常清楚了，現在再來總結這條輔助線的特點，學生永遠就不會忘了。

問 題3：在 梯 形ABCD中,AD∥BC, 對 角 線AC⊥BD, 若AC=12,BD=9，則梯形的面積為_______，中位線為______。

對于第一個問題，我覺得先應該引導學生思考梯形面積的求解的通法，學生會發現問題無法求解，這時老師可以適時引導學生進行轉化。首先會想到割，因為對學生的思維來說這樣比較容易思考。

問題4：兩個三角形△ABC與△ADC的面積分別為多少？我們可設OD為a，那么通過代數的運算就解決了。

問題5：如果用補的思想，平移AC到D，梯形面積會變成什么？變成三角形面積，問題進一步簡化。

在發散點設計有效問題，讓學生在平面幾何問題中通過這樣的思考，會加深印象，進一步感受到割補法的魅力與轉化思想的重要性，學生會自然而然地感受到里面的數學本質。

4.在拓展處設計合理的問題，加強知識梳理的能力

很多的數學問題中存在拓展點，教師可以對一個基本問題進行巧妙引導，把學生的思路引向問題的拓展點，并在拓展點處設問，挖掘思維的深度，這樣學生思維的條理性和創造性得以培養。通過典型例題找準拓展點，進行適度的拓展預設，不斷地就拓展點對學生進行追問，既有利于知識的梳理，又可以查漏補缺，達到拓展提升的目的。

問題1：做這題你的主要方法是什么？你有怎樣的收獲？

分析：這個問題以函數為背景,綜合考查了四邊形、方程、函數、分類討論等相關知識與核心思想方法，能較好地考查學生綜合運用解析幾何的能力。然而反觀原題，總給人一種意猶未盡之感。其實我們對這樣的問題可以創新和開發出很多新的問題。

我們可以發現這些問題的兩個拓展點：直線的形式發生改變，直線由定直線變成了動直線或是另外曲線；雙曲線的形式發生改變。

（1）當點A的坐標為（4，2）時，點B的坐標；

（2）當yB=2yA，點H是BG的中點時，證明G是HC的中點，并求出雙曲線的解析式。

（1）求拋物線的函數解析式；

（1）求b的值；

（2）求B的坐標；

（3）點P為拋物線上的一動點，當-2＜x＜4 時,求使得四邊形AODP為菱形的點P坐標。

問題5：當曲線發生改變時，解決這類問題的數學思想方法發生改變嗎？

通過這些問題的拓展，可以讓學生感受到這類問題的本質，進一步掌握解析幾何的共同點，從幾何中找到合理的方程。同時，通過問題跟進式的探究學習，可以為課堂節省很多時間，同時也不減少課堂容量，使得探究不再是難事，進一步提高課堂效率。還可以讓學生參與問題的編擬，讓學生進行再次發現問題、提出問題及解決問題的探究嘗試，理解這類問題的實質，從而進行“再創造”。

課堂問題的設計是一門教學藝術，有效問題的設計有利于學生數學概念的生成、理解，有利于學生對例題和習題的求解、歸納、延伸等，有利于數學思想方法的提煉。我們必須重視課堂問題的設計，最大限度地提升課堂教學的有效性。