指導建模，提升解決數學問題能力

江蘇省淮州中學 李錦國

建模能力是學生綜合能力的重要組成，建模能力的培養不僅可以幫助學生內化對新知的系統認知，更能促進學生深度領會和理解知識，形成對數學的深層次認識。為此，我們在平時的數學教學中，要不斷滲透數學建模思想的教育，引導學生真正融入數學的內在。在高中數學教學中，常見的數學模型有：方程模型、函數模型和幾何模型等等，建立這三種模型的基礎是對題干條件進行分析，探究其中的等量關系、變量關系和位置關系。下面就結合具體的例題對如何探究這三種關系，切實地提高學生的建模能力展開論述。

一、分析等量關系，建立方程模型

等量及不等關系是生活中最常見到的數學關系，在生活實際中有著廣泛的應用場景，如何指導學生提煉出題干中的等量關系，正確地列出方程是教師的重要任務。在根據數學等量關系建立方程模型時，最首要的任務就是先找到題干中給出了幾種變量，然后依次分析每一種變量所對應的等量及不等關系，之后列出多元方程組進行求解。

比如，在講解“不等關系與不等式”這一小節的內容時，就指導學生分析題干中的不等關系，列出方程組模型，解決問題。有習題如下：某地需要租車接待旅行團290 名旅客，共有100 件行李，計劃租用甲、乙兩種車共8 輛，甲型車可以載客40 人和10 件行李，乙型車最多載客30 人和行李20 件，求出共有幾種租車方案。在這一題中的不等關系需要根據生活常識提煉得出，最后租用的車必須能夠滿足載290 旅客和100 件行李的需求。所以可以設租用甲車x輛，則乙車為(8-x)輛，可以列出方程，從而得出最終結果。

由此可見，指導學生分析題干條件，探究等量關系的能力是提高同學們數學方程建模本領的重要手段。“授人以魚不如授人以漁”，教師在講解時更重要的是教給同學們建模的方法，而不是簡單地將結果展示給學生，因此在課堂中，教師應當適當地結合例題引導學生探究題干中的等量關系，建立方程模型進行求解。

二、梳理變量關系，建立函數模型

當多元方程組難以解決問題時就可以嘗試建立二次函數模型，梳理題干中的變量關系，設出關鍵未知數，然后根據變量關系列出正確的二次函數解析式，根據相應函數的特性，探究某一變量跟隨未知數的變化關系，求解其極值或者變化趨勢等一些常見問題。

可見，函數方程可以深入地利用函數的原理以及性質求解生活中常見的最優化問題，教給學生如何樹立變量關系，搭建函數模型，不僅可以幫助學生更深入地理解常見數學函數的表達和原理，最重要的是給同學們提供一種利用數學知識解決問題的思路，為學生未來的科研探究或者生活問題求解打下了基礎，更提升了學生的數學能力。

三、討論位置關系，建立幾何模型

幾何知識是數學學科的一個重要板塊，利用幾何原理求解實際應用問題也是數學學科的一個重要應用。建立幾何模型的基礎是明確空間中的位置關系，結合所學的幾何知識原理對問題進行求解。因此，教師在指導學生搭建幾何模型時，應該著重講解常用的位置關系以及如何利用這些關系聯想到所學的知識，從而完成模型的搭建。

比如，在講解了雙曲線的方程表示和基本性質之后，就指導學生根據雙曲線的定義和性質解決實際問題：在相距為10v的A、B兩地偵測到同一爆炸聲響的時間差為6 秒，并且B點的聲強是A點的4倍(聲強與距離的平方成反比)，計算爆炸點到A、B中點的距離。這一位置關系就需要轉化為雙曲線的幾何模型求解。以A、B的中點為坐標原點，AB連線作為橫軸，則可以得出爆炸點P滿足式子：||PA|-|PB||=6v，|PA|=2|PB|，并且|AB|=10v，這樣就將問題轉化為已知一個雙曲線上的某一點距離曲線和兩個焦點的距離滿足|PA|=2|PB|，因此可以確定該點的坐標為(v,v)。

由此可見，幾何模型的搭建可以快速地解決一些利用其他模型難以解決的問題，可以利用幾何模型為空間位置問題和其他的數學模型搭建一個知識橋梁，將位置關系轉化為方程組、函數模型或者解析幾何的知識展開求解。通過幾何模型解決實際問題不僅能夠優化解題思路，更可以助力學生幾何空間思維的發展，提升其數學核心素養。

綜上所述，數學模型思維是解決實際問題的重要紐帶，可以實現理論知識到實際問題求解的快速轉換，有效地提高學生的數學應用能力，從而提升學生的數學解題本領。因此，教師應該加強指導學生的建模能力，幫助學生學會如何分析題干中的數學等量關系、變量之間的函數關系以及幾何空間中的位置關系，提升學生的建模能力，發展其核心素養。