基于Hardy-type佯謬的混合態高概率量子非局域關聯檢驗*

劉晉 繆波 賈欣燕 樊代和

(西南交通大學物理科學與技術學院,成都 610031)

量子非局域關聯是量子力學預言的重要現象,同時也是量子理論區別于經典理論的重要特征之一.因此,對量子非局域關聯的高成功概率檢驗有著重要意義.本文提出了一種基于Hardy-type佯謬的、可用于針對純態和混合態進行高成功概率量子非局域關聯檢驗的邏輯,并對其適用性進行了證明.研究發現,利用本文提出的檢驗邏輯對量子純態進行量子非局域關聯檢驗,成功檢驗概率將隨著量子純態的糾纏度增加而出現先增大后減小的現象,最大的成功檢驗概率超過39%.進一步利用提出的檢驗邏輯,以Werner態這種量子混合態為例,進行了針對混合態的量子非局域關聯的高概率檢驗研究.研究發現,隨著混合態的純度增加,成功進行量子非局域關聯檢驗的概率也將增加.最后給出了針對Werner態這種量子混合態進行高成功概率量子非局域關聯檢驗的條件和范圍.

1 引 言

1935 年,Einstein,Podolsky和Rosen三人[1]提出了著名的關于量子力學完備性的討論,即EPR佯謬.他們認為量子力學是一套不完備的理論,即量子力學預言存在著量子非局域關聯的現象.因此,量子非局域關聯被認為是量子力學最典型也是最重要的特征之一,同時也是量子力學區別于經典物理的重要現象之一.同時,量子非局域關聯還對量子信息進程的實現具有重要意義,因此對量子非局域關聯的檢驗不論從理論還是實驗研究顯得至關重要.

目前對于量子非局域關聯的檢驗常用的有兩類方案：一是通過對Bell不等式的違背來檢驗量子非局域關聯,另外一類則是無不等式的檢驗方案來檢驗量子非局域關聯.1964年,Bell[2]提出一個滿足局域隱變量而在量子力學中是違背的不等式來說明沒有任何的局域實在論能重復量子力學的預測,從而驗證了量子非局域關聯的存在.1969年,Clauser,Horne,Shimony和Holt四人[3]在Bell不等式的基礎上,提出了兩比特的更加便于實驗驗證量子非局域關聯的CHSH-Bell不等式,并且在實驗上得到了驗證[4].1990年,Greeberger,Horne,Zeilinger[5]提出的GHZ佯謬是關于量子非局域關聯的無不等式證明,然而其只適用于大于等于三粒子的系統.1993年,為了證明兩粒子系統的量子非局域關聯,Hardy[6]提出了兩粒子情況下的佯謬,該證明表面僅只有一階梯子的情況下,可以獲得違反局域隱變量理論的最大概率約為9%.基于Hardy佯謬,通過對兩比特糾纏態的單次聯合測量,即可在無統計不等式的情況下驗證量子非局域關聯,因此Hardy佯謬也被認為是“Bell定理的最佳的版本”[7].盡管利用Hardy佯謬檢驗量子非局域關聯的概率非常低,但是足以證明量子非局域關聯的存在.之后學者將Hardy佯謬推廣到K階梯子的量子非局域關聯的證明,當 K→∞時,最大概率可達到50%[8].后來,通過許多量子態,例如通過利用光子對的偏振糾纏態[9-11],軌道角動量糾纏態[12,13]以及能量-時間糾纏態[14],實驗結果均證明了量子非局域關聯現象的存在,違背了經典理論的預測.后來,學者們又將Hardy佯謬推廣到了多粒子[15,16]和多維[17]的系統中,并且成功地檢驗了量子非局域關聯現象.然而,值得關注的是,到目前為止,上述提到的大多數關于量子非局域關聯檢驗的研究,均是以量子純態作為為研究對象的.

從實驗角度而言,由于受到各種實驗不完美因素的限制,實驗制備的量子態往往是一個量子混合態.因此,利用量子混合態來進行量子非局域關聯的檢驗就具有重要的現實意義.目前,針對量子混合態進行的量子非局域關聯檢驗的研究中,文獻[18]將原始量子非局域關聯檢驗的相關證明推廣到一類特殊的混合態,給出了一個滿足混合態量子非局域關聯檢驗的必要條件.文獻[19]將原始的量子非局域關聯的嚴格證明進行改進和推廣,將一些典型的混合態進行了量子非局域關聯的相關研究,改進了文獻[18]中的結果,但是其不利于進行實驗的驗證.盡管文獻[20]提出了一種基于混合態的量子非局域關聯檢驗更優的條件,但是成功檢驗概率較小,不利于進行實際的實驗檢驗.

本文研究了一種適用于量子混合態[21,22]進行Hardy-type佯謬的邏輯,這種邏輯可以以較高的成功概率來進行針對量子混合態的量子非局域關聯檢驗.首先,本文介紹了提出的可適用于量子混合態的高概率Hardy-type佯謬邏輯,并證明了其正確性；其次,證明了提出的檢驗邏輯也能適用于純態的量子非局域關聯檢驗的情況；最后,本文以Werner態[23]這種量子混合態為例,進一步研究了進行量子非局域關聯檢驗的條件等.

2 適用于量子混合態的Hardy-type佯謬高概率檢驗邏輯

受文獻[24]啟發,我們以兩比特態的量子態為基礎,首先給出可用于混合態的高概率Hardytype佯謬檢驗邏輯.考慮由自發參量下轉換所產生的信號光(s)和閑置光(i),選取相應的測量基對信號閑置光子進行偏振聯合測量.用 P(αs,βi) 表示測得s光子的偏振在 αs方向和i光子的偏振在βi方向的聯合測量概率.由于s光子與i光子的偏振測量概率可看作兩個獨立的事件,因此可以得到：定義則有：

假設通過選取合適的測量基 {αms,βni},可使得(3)—(5)式同時滿足：

在滿足(2)式的情況下,受(3)—(5)式條件的約束,可以證明能夠得出如下兩個結論.

證明由(2)式可知,s光子的偏振與i光子的偏振必定不在α1s和 β1i方向,即 P(α1s)／=1 與則代入(3)式后可得到此結果不能滿足(5)式.因此可以得出若s光子偏振在方向,即那么根據(3)式有P(α2s,則此結果不能滿足(5)式,因此s光子偏振必定不在方向,即若i光子偏振在方向,即根據(3)式有則此結果不能滿足(5)式,所以i光子偏振必定不在方向,即根據以上分析,可得

由于上面已經得出 0＜P(α1s,β1i)＜ 1 ,則根據(3)式可以得出因此s光子的偏振與i光子的偏振必定不在和 β2i方向上,即若s光子偏振在 α2s方向,即 P(α2s)=1 ,根據(5)式可得到P(α1s,β2i)=1,則不能滿足(3)式,因此s光子偏振不在 α2s方向,即若i光子偏振在方向上,即根據(5)式有則不能滿足(3)式,因此i光子的偏振不能在方向上,即因此可以得出：0＜P(α2s)＜ 1 ,

通過如上的分析,可以匯總得出如下的結論：

2) 在滿足(2)式的情況下,經典局域關聯將導致 H3＜ 1.

證明定義(8)—(10)式為：

由(3)(式與)(1a)式以及(8)式相結合可得P(β1i)+P=1+H4＞ 1,進一步與(1b)和(7)式相比較可得到

從以上證明得到的兩個結論中可以看出,在經典局域關聯下,如果選取的測量基能夠同時滿足(3)—(5)式,則(2)式必定不能成立,即

然而,在量子力學非局域關聯理論中可以證明,在選取的測量基能夠同時滿足(3)—(5)式時,卻可以得到的結論.因此,通過檢驗概率H值是否大于0,就可以檢驗量子非局域關聯是否存在.并且H值越大,則對于量子非局域關聯檢驗的概率越高,量子非局域關聯現象越明顯.

3 基于Hardy-type佯謬的高概率量子非局域關聯檢驗

下面首先來證明上述提出的高概率Hardytype佯謬檢驗邏輯,針對量子純態中也是適用的.對于兩比特偏振糾纏純態,其波函數可表示為

其中,|H〉表示水平偏振態,|V〉表示垂直偏振態,r (0≤r ≤1)值的大小決定了(15)式所示的量子純態的糾纏度.例如,當 r =1 時,(15)式為最大糾纏態.

當使用如下所示的通用測量基 |φ〉M,

作用于(15)式,則可以計算得出相應的聯合測量概率為

此時,利用Mathematica程序,可以計算得出在滿足(3)—(5)式的條件下(即H1= H2= H3=可以獲得的最大概率值 Hmax.圖1顯示了 Hmax隨r 的變化關系.

從圖1中可以看出,對于如(15)式所示的量子純態,量子非局域關聯的成功檢驗概率會隨著r 值的增大先增大后減小.特別地,當r =0.773066時,可獲得最大的 Hmax值,即量子非局域關聯檢驗的最大概率為此時對應的測量基分別為：α1s=0.722166 ,α2s=1.50353 ,β1i=1.11185,β2i=0.305655.該結果與文獻[24]利用純態進行的量子非局域關聯檢驗得到的結果一致,證明了提出的關于Hardy-type佯謬檢驗量子非局域關聯的有效性.與原始的Hardy佯謬檢驗方案成功概率約9%相比[6],利用本文提出的邏輯,可將量子非局域關聯檢驗的成功概率提高到約39.1%,因此本文提出的基于Hardy-type佯謬邏輯,可極大地提高進行量子非局域關聯檢驗的成功概率.值得注意的是,當 r＜ 0.378525 或r＞ 0.778883時,由于(3)—(5)式無法被同時滿足,因此對這些范圍內的量子純態,無法用本文提出的邏輯進行量子非局域關聯的檢驗.

圖1 Hmax隨r 的變化Fig.1.Relationship between Hmax and r.

進一步重點研究關于混合態的高概率量子非局域關聯檢驗.具體而言,以Werner態這種量子混合態為例,利用本文提出的Hardy-type佯謬檢驗邏輯,分析量子混合態的量子非局域關聯檢驗情況.

對于量子混合糾纏態Werner態,其密度矩陣可寫為[23]

其可認為是如(15)式所表示的非最大糾纏純態|ψ〉混合了一定的白噪聲(0≤t＜ 1)所得到.其中I表示單位矩陣.本文通過的值來判定該混合態的混合程度,即當對應純態,則是對應混合態.Tr(ρ2)的值越高,Werner態越接近于量子純態.

對于如(18)所描述的量子混合態,當用如(16)式所示的通用測量基進行聯合概率測量,可計算得到如下式所示的聯合測量概率：

同理,利用(19)式,可以計算得出在滿足(3)—(5)式的條件下(即 H1=H2=H3=1),可以獲得的最大概率值 Hmax.特別地,在 r =0.773066 (此情況下,Werner態中所含純態部分(即當 t =1 時的情況)可獲得最大概率的量子非局域關聯檢驗)和 r =0.599997 (此情況下,下文可證明所對應的Werner態,滿足量子非局域關聯的檢驗的條件范圍是最大的)兩種情況下,如(18)式所示的量子混合態,基于本文提出的Hardy-type佯謬的量子非局域關聯檢驗成功概率以及 Tr(ρ2) 隨參數t 的變化關系如圖2所示.

從圖2中可以看出,利用本文提出的Hardytype佯謬邏輯,不論r 值處于哪種情況,隨著t 參數值的增大(即混合態越來越接近純態),檢驗量子非局域關聯的成功概率都將越增大.從圖2(a)中可以看出：當 r =0.773066 時,用(18)式所示的混合糾纏態進行量子非局域關聯檢驗,僅當滿足t ≥0.982327(此時 Tr(ρ2)≥0.973725)時,該混合態才能利用本文提出的檢驗邏輯進行量子非局域關聯檢驗,但成功檢驗的概率較大,為 Hmax=0.33782 ,且隨著t 的增大而非線性增大.特別地,當t =1(即純態)時,Hmax=0.391179 ,該結果與文獻[24]利用純態檢驗得到的結果一致.從圖2(b)中可以看出：當 r =0.599997 時,用(18)式所示的混合糾纏態進行量子非局域關聯檢驗,當滿足t ≥0.912649(Tr(ρ2)≥0.874696)時,該混合態就能利用本文提出的檢驗邏輯進行量子非局域關聯檢驗,但成功檢驗的概率為 Hmax=0.172799 ,且隨著t 的增大而非線性增大.特別地,當 t =1 (即純態)時,Hmax=0.261343.與圖2(a)所示的情況相比,盡管圖2(b)中所用的參數可用于成功檢驗量子非局域關聯的范圍更大,但其缺點是成功檢驗的概率要稍低一些.但不論如何,利用本文提出的Hardytype佯謬檢驗邏輯,都能以較大的成功概率檢驗量子非局域關聯.

圖2 Tr(ρ2) 以及 Hmax隨t 參數的變化關系 (a) r =0.773066 的情況；(b) r =0.599997 的情況；其中藍色實線表示 Hmax隨t 的變化關系,對應于右邊縱坐標；黑色點化線表示 Tr(ρ2) 隨t 的變化關系,對應于左邊縱坐標Fig.2.Relationship between Tr(ρ2) and Hmax with t.The blue solid line means Hmaxvs.t ,using the right longitudinal coordinates.The black dot dash line means Tr(ρ2) vs.t using the left longitudinal coordinates.Fig.2 (a) is the situation of r =0.773066 and Fig.2 (b) is the situation of r = 0.599997.

值得注意的是,利用本文提出的Hardy-type佯謬檢驗邏輯,針對如(18)式所示的混合態,盡管可以以較高的成功概率進行量子非局域關聯的檢驗,但是,從上面的分析也可以看出,只有滿足一定條件(即混合態的純度必須要大于某一個值,以及r 的取值必須在某一范圍)的混合態才能(即能找到一定的測量基可使得條件H1=H2=H3=1能夠被同時滿足)進行量子非局域關聯的檢驗.因此,圖3給出了利用本文提出的Hardy-type佯謬檢驗邏輯,可對如(18)式所示的混合態成功進行量子非局域關聯檢驗的范圍.

從圖3中可以看出,對(18)式所示的混合態而言,僅當在滿足條件：0.378525≤r ≤0.778883時,該混合態才能利用本文提出的Hardy-type佯謬檢驗邏輯成功地進行量子非局域關聯檢驗.而且,對于某一固定的r 值,(18)式所示混合態的純度也必須進一步滿足一定條件(即存在t 參數的最小值 tmin),才能成功地進行量子非局域關聯檢驗.例如,當 r =0.599997 時,(18)式所示的混合態具有最大的條件范圍進行量子非局域關聯的檢驗.即只要混合態的純度滿足條件 t ≥0.912649 (此時對應的 Tr(ρ2)≥0.874696),就能成功地進行量子非局域關聯檢驗.

圖3 tmin隨r 的變化Fig.3.Relationship between tmin and r.

4 結 論

提出了一種適用于任意兩比特糾纏混合態的Hardy-Type佯謬檢驗邏輯,該邏輯可以較高的概率成功地檢驗量子非局域關聯.首先,利用偏振聯合概率測量的方法,證明了該檢驗邏輯的適用性.在此基礎之上,以兩比特偏振糾纏純態為例,證明了該檢驗邏輯也能適用于量子純態的情形.結果表明,對糾纏純態而言,該檢驗邏輯可獲得的成功檢驗概率隨著r 的增加將出現先增大后減小的情形,最大成功檢驗概率可從傳統的約0.09提高到約Pmax=0.391179.其次,本文以Werner態這種混合態為例,從理論上分析了當Werner態中的參數r 和t 改變時,該混合態進行量子非局域關聯檢驗的情形.研究結果表明,對于固定r 值的混合態,純度越高(即 Tr(ρ2) 越接近1),則其成功檢驗量子非局域關聯的概率越大.最后,本文也研究了針對Werner混合態的成功檢驗量子非局域關聯的t 參數范圍.結果表明,當 r =0.599997 時,可用于量子非局域關聯檢驗的混合態的范圍最大,即只需t＞ 0.912649即可.由于本文提出的檢驗邏輯針對量子混合態,可以較大的成功概率檢驗量子非局域關聯,因此該方法更加有利于實驗的驗證.