復積分及其應用

董斌斌

（河南工業和信息化職業學院基礎部，河南焦作）

1.1 由復數起源到初識復變函數

18世紀以來，隨著實分析的不斷完善與發展，分析中的另一理論——復變函數論也在不斷地發展壯大。復變函數以復數為自變量，與實分析相對應，因此可稱之為復分析。復分析就在此后不久的19世紀茁壯成長，其最初的引出只是為了求解一些實積分，但隨著Cauchy、Riemann和Weierstra的努力，復分析不斷發展，成為了現代分析的重要研究領域之一[1]。

1.2 C-R方程的發現

C-R方程來自于Cauchy于1827年出版的論文《關于定積分理論的報告》(Memoires sur la theorie des integrales definies)(下稱《報告》)。這是本應在1814年就應發表的一篇論文，卻由于坡旁王朝正值機構改組而推遲了13年．在1825年9月14日送去印刷的期間，Cauchy為《報告》增添了兩個注解，反映了在這一段時間內該領域的發展和Gauss在這一期間工作的影響．本文在這里將簡單介紹下《報告》中C-R方程的發現．

1.3 復積分定義及復變函數的一些理論

復積分的定義對了解復變函數的性質具有重要的意義，而復變函數主要研究的內容就是解析函數．解析函數具有一個非常重要的性質：若函數解析，則解析函數在區域內可微并滿足Cauchy-Riemann方程[8]。

2.1 解析函數的定義

Cauchy-Riemann方程是研究解析函數的重要工具之一[9]，是函數解析的必要條件。而解析函數又可分為單變量與多變量兩大類，單變量解析函數的奇點定義和函數解析的判定如下：

2.2 求解復積分的思路與定理

3 積分的計算

上面介紹了復積分的一些計算方法，而具體如何使用這些方法則需要根據不同的積分采用不同的方法．這里將其分為兩類，一為復積分的計算問題，一為利用復變函數方法來解決實積分類型的問題．

3.1 復積分的計算

3.2 實積分的計算

為解決上述實積分問題，思路就如同上面復積分的計算問題，或可通過變量代換轉化為留數定理適用的情況去解決，或可根據函數的性質并引入不同的路徑使其適用于留數定理，或可根據復數的虛部與實部分離積分值，進而得到需要的積分值等等．