集合、邏輯、函數知識結構與方法拓展

■河南省信陽市職業技術學院 萬永鵬

一、知識結構

二、結構分析

(1)數學是一門理性的科學,她有兩個主要標志,一是公理化,二是符號化,因而學習數學必須打好兩個基礎:邏輯與集合。邏輯關注的是數學思維與表達,最小單位是命題。集合強調概念學習的標準化與符號化,以及多種數學語言之間的轉換,最終目標是研究集合之間的關系。一綱、一目互為交織,使數學知識具有系統化的結構。

(2)高中數學知識中,函數是首要的核心概念,由它引發的知識體系、方法體系、思維體系支撐了數學的主要框架,因此,抓住函數,扎實打好基礎是學習數學的“捷徑”。

(3)對于函數概念的學習,要從對應出發,它是建立在兩個非空數集的特殊對應,即任意一個自變量值x只對應唯一一個因變量值y,這種對應有穩定性、確定性,甚至可以用等式(方程)表達,于是可以由一個變量控制另一個變量,從而產生廣泛的應用。

(4)函數性質的學習是對概念學習的深化。基本初等函數的學習是知識應用的具體化,因此要強化指數、對數、三角運算的學習與訓練。

三、展例釋理

例1 對于函數f(x),若f(x)=x,則稱x為f(x)的“不動點”,若f[f(x)]=x,則稱x為f(x)的“穩定點”;記A={x|x為f(x)的不動點},B={x|x為f(x)的穩定點}。

(1)探究:A與B是否具有包含關系,為什么?

(2)已知f(x)=a x2-1,命題p:?x0∈R,使A與B至少有一個為?。若p為假命題,求實數a的取值范圍。

分析：(1)探究可以從特例出發,但作為解答題,需要證明,于是要從包含關系的定義著手。(2)因為p為假,所以﹁p為真,即?x∈R,有A=B≠?,求此時a的范圍。

解：(1)A?B。

理由如下:若A=?,則A?B顯然成立,這時集合A={x|f(x)=x},集合B={x|f[f(x)]=x};若A≠?,設?t∈A,則f(t)=t,f[f(t)]=t,即t∈B,從而A?B。

(2)因為p為假,所以﹁p為真,即?x∈R,有A=B≠?。

由(1)知A中的元素滿足f(x)=x,即a x2-1=x。由A≠?知a=0或

B中的元素是方程a(a x2-1)2-1=x,即a3x4-2a2x2-x+a-1=0的實根,由A?B?(a x2-x-1)(a2x2+a x-a+1)=0。

由A=B知方程a2x2+a x-a+1=0無實根,或其解是方程a x2-x-1=0的解。

若方程a2x2+a x-a+1=0無實根,則

若方程a2x2+a x-a+1=0有實根,可

小結：從定義出發分析解答題目是很基本的思路。對A=B的理解,選擇從A?B(B?A)入手,再結合高次多項式分解的原理,就找到解決問題的突破口了,當然后續的討論,層次要清晰,不能亂序。

例2 已知函數f(x)是奇函數,且在(-∞,+∞)上為單調函數,若實數x,y滿足等式f(x2-2x)+f(y)=0,求2x+y-1的最大值。

分析：u=2x+y-1是一個二元變量函數,需要消元,根據條件得到x,y的關系,消去y,化為u關于x的一元函數即可求解。

解：因為f(x2-2x)+f(y)=0,所以f(x2-2x)=-f(y)。因為f(x)為奇函數,所以f(x2-2x)=f(-y)。又因為f(x)在(-∞,+∞)上單調,所以x2-2x=-y,所以u=2x+y-1=-(x-2)2+3≤

小結：利用單調性化簡f(x2-2x)+f(y)=0得到x,y的關系式是問題解決的關鍵。回答最值,必須說明何時取得。

例3 已知f(x)=l o gax(a＞0,a≠1),如果對于任意x∈[2,+∞)都有|f(x)|≥1成立,試求實數a的取值范圍。

分析：可以優先考慮去絕對值,也可以先考慮不等式恒成立,進行變量分離。

解：由條件|f(x)|≥1?|l o gax |≥1?≥|l o g2a|(g(x)=|l o g2x|)。

第五個支出是社會保障支出，關于社會保障支出的主要有以下幾個問題：社會保障支出總量不足；社會保障支出增長緩慢；社會保障支出結構不合理、地區差異顯著；社會保障基金增值困難、安全隱患。這個具體的數據大概說一下：2010年的時候我們國家社會保障支出占GDP的2.28%。這個與同期國家比較，比如說以中等發達國家為例，中等發達國家社會保障支出比重是30%，我們是2.28%，社會保障構建上嚴重投入不足，今天我們所講的全民享有的、能夠覆蓋13億人口的社會保障體系尚未完全建立起來。

因為g(x)=|l o g2x|(x≥2),所以g(x)min=1,所以|l o g2a|≤1且l o g2a≠0?1＜a≤2。

小結：變量分離是解決不等式恒成立問題的首選方法,此法能將不等式恒成立問題很快轉化為函數最值問題加以解決。利用對數換底公式拆分出l o g2a是不錯的運算技巧。

四、跟蹤練習

審題分析：由于函數關系式是以根式的形式來表達的,利用導數求解不便。利用復合函數的單調性法則,需要考慮先求定義域D,且使(-4,2-a)?D。

綜上,a的取值范圍是[4,6)。

A.(0,1) B.(0,1)∪(2,+∞)

C.(0,1)∪(2,+∞)

D.(0,2)∪(2,+∞)

審題分析：由于初等函數的連續性,f(x)沒有零點,可以考慮其有界性,用最值加以描述。

當x2=0時,f(x)min=a-2。

解法二：(換元法)因為x2≤a,所以可設