集合、函數、導數核心考點A卷參考答案

一、選擇題

二、填空題

三、解答題

(2)A∩B=A,則A?B,A中不等式的解集分三種情況討論:

①當a=0時,A=R,A?B不成立;

綜上所述,a的取值范圍是(-∞,-4)∪[2,+∞)。

3 3.(1)設t=l o g2x,t∈R,則x=2t。因為函數f(l o g2x)=x2+2x,所以f(t)=22t+2·2t,所以把t換成x可得f(x)=22x+2·2x。

(2)方程f(x)=a·2x-4在(0,2)內有兩個不相等的實根?22x+(2-a)·2x+4=0,在(0,2)內有兩個不等實根。令2x=m,則h(m)=m2+(2-a)m+4。

因為x∈(0,2),所以m∈(1,4)。所以函數h(m)在(1,4)上有兩個不等實數根。

又6 0≤x≤1 2 0,可得6 0≤x≤1 0 0,每小時的油耗不超過9L,所以x的取值范圍為[6 0,1 0 0]。

3 5.(1)由題意可知f(1)≥2,f(1)≤2,所以f(1)=2,所以a+b+c=2。

因為對任意實數x都有f(x)≥2x,即a x2+(b-2)x+c≥0恒成立,所以a+b+c=2,可知a=

所以f(-1)=a-b+c=4a-2的取值范圍是(-2,0]。

(2)對任意x1,x2∈[-3,-1]都有|f(x1)-f(x2)|≤1等價于在[-3,-1]上的最大值與最小值之差M≤1,由(1)知,

據此分類討論如下:

令f'(x)=0,得x=e1-a,故f(x)在(0,e1-a)上是增函數,在(e1-a,+∞)上是減函數。故f(x)極大值=f(e1-a)=ea-1;無極小值。

(2)①當e1-a＜e2,即a＞-1時,f(x)在(0,e1-a)上是增函數,在(e1-a,e2]上是減函數。所以f(x)max=f(e1-a)=ea-1;f(e-a)=a≤e2-2。

②當e1-a≥e2,即a≤-1時,f(x)在(0,e2]上是增函數,故函數f(x)的圖像與函數g(x)=1的圖像在區間(0,e2]上至多有一個公共點,故不滿足。

綜上,實數a的取值范圍是(1,e2-2]。

3 7.(1)由題易知f'(x)=ex-2,切線的斜率k=f'(0)=1-2=-1。

因f(0)=e0-2×0-1=0,故f(x)在(0,f(0))處的切線方程為y=-x。

(2)由題易知g(x)=ex-2a x-a,則g'(x)=ex-2a。

當a≤0時,g'(x)＞0,所以g(x)在R上單調遞增,不符合題意。

當a＞0時,令g'(x)=0,得x=l n2a,在(-∞,l n2a)上,g'(x)＜0,在(l n2a,+∞)上,g'(x)＞0,故g(x)在(-∞,l n2a)上單調遞減,在(l n2a,+∞)上單調遞增。

所以 g(x)極小值=g(l n2a)=2a-2al n2a-a=a-2al n2a。

因為g(x)有兩個零點,所以g(x)極小值＜0,即a-2al n2a＜0。

3 8.(1)由題知f'(x)=2x(l nx-1)+x=2xl nx-x,所以f'(1)=-1。

又f(1)=-1,所以在點(1,f(1))處的切線方程為x+y=0。

(2)由于函數y=f(x)的定義域為(0,+∞),所以m f(x)+ex≥0?m x2(l nx-1)

令g(x)=m x(l nx-1),則g'(x)=ml nx,可得,當x∈(0,1)時,g'(x)＜0;當x∈(1,+∞)時,g'(x)＞0。所以g(x)min=g(1)=-m。

所以h(x)max=h(1)=-e,由-m≥-e得m≤e。

所以m的取值范圍為(0,e]。

由k(1)=0知,當0＜x＜1時,k(x)＞0,從而f'(x)＞0,當x＞1時,k(x)＜0,從而f'(x)＜0。

綜上可知,f(x)的單調遞增區間是(0,1),單調遞減區間是(1,+∞)。

現證明:對任意x＞0,g(x)＜1+e-2恒成立。

當x≥1時,由(1)知g(x)≤0＜1+e-2成立;

當0＜x＜1時,ex＞1,且由(1)知g(x)-x。

設F(x)=1-xl nx-x,x∈(0,1),則F'(x)=-(l nx+2)。

當x∈(0,e-2)時,F'(x)＞0;當x∈(e-2,1)時,F'(x)＜0。所以當x=e-2時,F(x)取得最大值F(e-2)=1+e-2。

所以g(x)＜F(x)≤1+e-2,即0＜x＜1時,g(x)＜1+e-2。

綜上,對任意x＞0,g(x)＜1+e-2。 ①

令G(x)=ex-x-1(x＞0),則G'(x)=ex-1＞0恒成立,所以G(x)在(0,+∞)上遞增,G(x)＞G(0)=0恒成立,即ex＞

(Ⅰ)當a＜0時,f'(x)＜0,故函數f(x)在(0,+∞)上單調遞減。

綜上所述:當a≤0時,函數f(x)在(0,+∞)上單調遞減;當a＞0時,函數f(x)在調遞增。

(Ⅱ)因為對任意m∈[1,e],直線PM的傾斜角都是鈍角,所以對任意m∈[1,e],直f(m)＜1,即f(x)在區間[1,e]上的最大值令g(x)=a x2-2,x∈[1,e]。

(1)當a≤0時,由(Ⅰ)知f(x)在區間[1,e]上單調遞減,所以f(x)的最大值為

因為x∈[e,e2],所以f(x1)≤f'(x2)+a成立?x∈[e,e2],[e,e2]上為減函數,則f(x)min=f(e2)=

①當-a≥0,即a≤0時,f'(x)≥0在[e,e2]上恒成立,因此f(x)在[e,e2]上為增的單調性和值域可知,存在唯一x0∈(e,e2),使得f'(x0)=0,且滿足:當x∈[e,x0)時,f'(x)＜0,f(x)為減函數;當x∈(x0,e2)時,f'(x)＞0,f(x)為增函數。所以f(x)min不合題意,舍去。

②當-a＜0,即