利用導數求參數取值的一道高考題剖析

■河南省信陽高級中學 郭宏彬

利用導數研究含參函數的性質(單調性、零點、極值、最值等),以及利用含參函數的性質求參數的取值范圍是近幾年高考的熱點。通過判斷導數的正負確定函數的增減,尋找與函數的極值、最值、零點個數等的對應關系是解題的關鍵。本文通過對2 0 1 8年的一道高考題進行一題多解、一題多變的詳細剖析,希望對同學們的學習能有所幫助。

一、題目及分析

例題 (2 0 1 8年全國卷Ⅱ理2 1)已知函數f(x)=ex-a x2。

(Ⅰ)若a=1,證明:當x≥0時,f(x)≥1;

(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)上只有一個零點,求a。

分析：(Ⅰ)常規思路是求導,無法求解時二次求導,利用導數求解問題時注意導函數的正負對應著導函數的增減,導函數的增減對應著二階導函數的正負。一般導函數的正負無法判斷時可以利用二階導數求導函數的增減情況及最大(小)值,進而比較導函數值的正負情況,最后確定原函數的增減情況。(Ⅱ)確定原函數的增減情況,再結合極值利用零點存在定理和零點唯一存在定理討論函數的零點個數。

二、一題多解

(Ⅰ)方法一:當a=1時,f(x)=exx2,f'(x)=ex-2x,令f″(x)=ex-2=0,得x=l n2,即x＞l n2時f'(x)為增函數,x＜l n2時f'(x)為減函數,所以x=l n2時,f'(x)min=2-2 l n2＞0,所以原函數為R上的增函數,即當x≥0時,f(x)≥f(0)=1。

方法二:當a=1時,f(x)≥1等價于(x2+1)e-x-1≤0。

令g(x)=(x2+1)e-x-1,則g'(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x。

當x≠1時,g'(x)＜0,所以g(x)在(0,+∞)上單調遞減。

而g(0)=0,故當x≥0時,g(x)≤0,即f(x)≥1。

方法三:當a=1時,即證,當x≥0時,f(x)=ex-x2≥1,由于f'(x)=ex-2x≥ex-2x＞0(因為x≥1時ex-1≥x且0≤x＜1時ex-1≥x),所以原函數為R上的增函數,即當x≥0時,f(x)≥f(0)=1。

(Ⅱ)方法一:當a≤0時,f'(x)=ex-2a x≥ex-2a x≥0,此時f(x)≥f(0)=1恒成立,即f(x)在0,+∞()上無零點,當a＞0時,f(x)在0,+∞()上只有一個零點的必要條件為f(x)=ex-a x2=0有且只有一根,圖像相切,則可得在0,+∞()上有且只有可知

方法二:構造函數h(x)=1-a x2e-x。

(1)當a≤0時,h(x)＞0,h(x)沒有零點;

(2)當a＞0時,h'(x)=a x(x-2)e-x。

當x∈(0,2)時,h'(x)＜0;當x∈(2,+∞)時,h'(x)＞0。

所以h(x)在(0,2)上單調遞減,在(2,+∞)上單調遞增。

由(Ⅰ)知,當x＞0時,ex＞x2。

故h(x)在(2,4a)上有一個零點,因此h(x)在(0,+∞)上有兩個零點。

方法三:當a≤0時,f'(x)=ex-2a x≥ex-2a x≥0,此時f(x)≥f(0)=1恒成立,即f(x)在0,+∞()上無零點。

當a＞0時,f(x)在0,+∞()上只有一個零點的必要條件為f(x)=ex-a x2=0有有且只有一根。

點評:本題重點考查了導數的應用,緊緊圍繞導數的正負與原函數的增減對應關系處理此類問題才不容易出錯。靈活把握導數為零與函數極值最值之間的關系,正確合理地應用分類討論、等價轉換、分離參數等思想方法是求解此類問題的關鍵所在。

三、一題多變

變式1 試討論函數f(x)=ex-a x的零點個數。

解析：(1)當a＜0時,f'(x)=ex-a＞0,f(x)單調遞增,且f(0)=1-a＞0,以此時f(x)有且只有一個零點在區

(2)當a=0時,f(x)=ex恒大于0,函數f(x)無零點。

(3)當0＜a＜e時,f(x)min=f(l na)=a(a-2 l na)＞0,函數f(x)無零點。

點評:本題隨著a的變化詳細地討論了函數的零點個數,要想很好地根據零點的個數求參數的取值范圍,可以在平時做題中對參數變化時零點的變化情況多加對比分析。

變式2 已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x。

(1)討論f(x)的單調性;

(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍。

解析：(1)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,則f'x()=2ae2x+a-2( )ex-1=

①當a≤0時,aex-1＜0,2 ex+1＞0。從而f'x()＜0恒成立。f x()在R上單調遞減。

②當a＞0時,令f'x()=0,從而aex-1=0,得x=-l na。f(x)在(-∞,-l na)上單調遞減,在(-l na,+∞)上單調遞增。

綜上,當a≤0時,f(x)在R上單調遞減;當a＞0時,f(x)在(-∞,-l na)上單調遞減,在(-l na,+∞)上單調遞增。

(2)由(1)知,當a≤0時,f x()在R上單調遞減,故f x()在R上至多有一個零點,不滿足條件。當a＞0時,f(x)min=g a()在0,+∞()上單調遞增。而g1()=0,故當0＜a＜1時,g a()＜0。當a=1時,g a()=0。當a＞1時,g a()＞0。

點評:同一個知識點,高考常考常新。對于含參數的導數問題,需要對參數的取值進行合理的分類,需要著重分析隨著參數的變化,導函數的正負變化情況。仔細挖掘高考題所要考查的知識點,培養自己分析問題和解決問題的能力。

四、小結

有關導數的問題,在近幾年的全國高考題中都作為壓軸題出現,難度較大。通過上面的分析,不管是判斷零點的個數還是求參數的取值范圍,所涉及的知識無非就是函數的零點存在定理、零點唯一存在定理及等價轉化思想等,先把函數零點問題恰當地轉化為方程f(x)=0或f(x)=m的根的個數問題,再利用導數畫出y=f(x)及y=0(y=m)的圖像,判斷兩個函數圖像的交點,進而求出零點的個數或參數的取值范圍。