解決含參不等式恒成立問題的對策

■河南省安陽市第三中學 許慶濤

含參數的不等式恒成立問題在歷年的高考中占有很大比重,筆者就這類問題的解法作了一下總結。與同學們進行交流。

一、合理討論參數

例1 設函數f(x)=l n(x+1)+a(x2-x),其中a∈R。

(1)討論函數f(x)極值點的個數,并說明理由;

(2)若?x＞0,f(x)≥0成立,求a的取值范圍。

解析：(1)略。

若a＜0,令g(x)=2a x2+a x+1-a,則判別式Δ=9a2-8a,此時Δ＞0,令x1=時x1＞0,函數f(x)在(0,x1)上遞增,在(x1,+∞)上遞減,不合題意,舍去。

綜上所述:0≤a≤1。

對策：不等式恒成立問題與函數的最值有密切聯系,而求函數的最值與函數的單調性有關,所以在解此類問題時需要合理討論參數的取值范圍,從而正確判斷和討論函數的單調性。

二、參變數分離

例2 已知函數f(x)=-x3+x2+b,g(x)=al nx。

(2)若對任意x∈[1,e]都有g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求實數a的取值范圍。

解析：(1)b=0。(過程略)

(2)由g(x)≥-x2+(a+2)x,得(xl nx)a≤x2-2x。

因為x∈[1,e],所以l nx≤1≤x,且等號不能同時取得,所以l nx＜x,即xl nx＞0。

當x∈[1,e]時,x-1≥0,l nx≤1,x+2-2 l nx＞0,從而t'(x)≥0,所以t(x)在區間[1,e]上為增函數。

所以t(x)min=t(1)=-1,所以a≤-1,即實數a的取值范圍為(-∞,-1]。

因為x≥1,所以h'(x)≥0,則h(x)在[1,+∞)上單調遞增。所以h(x)的最小值為h(1)=1＞0,從而g'(x)＞0,故g(x)在[1,+∞)上單調遞增,所以g(x)的最小值為g(1)=2,所以k3+k≤2,即(k-1)(k2+k+2)≤0,解得k≤1。

對策：對于含參不等式恒成立問題,難點往往在于參數與自變量的相互變化、相互影響,這個時候可以考慮將參數(或含參數的多項式)分離出來,即參變分離,從而將不等式恒成立問題等價轉化為求函數的最值問題。

三、構造函數

例4 已知函數f(x)=l nx-m x2,f(x)+g(x),若關于x的不等式F(x)≤m x-1恒成立,求整數m的最小值。

當m≤0時,因為x＞0,所以G'(x)＞0,所以G(x)在(0,+∞)上是增函數。

所以整數m的最小值為2。

對策：在處理不等式恒成立問題時,如果分離變量導致函數求導比較困難時,我們可以合理構造函數,從而將不等式恒成立問題轉化為函數最值問題。

綜上所述,有關含參不等式恒成立的問題都是以壓軸題的形式出現的,由于其信息量、思維量、運算量都比較大,需要同學們有較高的分析問題、解決問題的能力,這就需要我們在平常的學習中不斷地進行總結。