例題教學中的“變臉”藝術

張孝波

摘要：隨著新課改的推進，初中數學課程改革朝著教學的高效性和科學性進步。在初中數學課堂中，教師為了保證教學的高效性，需特別注重培養學生舉一反三的自學能力，即教會一道題，會做一片題。這就要求教師在例題講解中，需要拓展延伸，即所謂的“變臉”藝術，以點帶面地將一道例題的全部變式一網打盡。

關鍵詞：初中數學;例題變式;新課改;舉一反三

初中數學相對于小學數學來說，開始向綜合性方向前進，相關知識的題目量變大，相關知識的應用方式變化多端。許多學生也常常會為此煩惱，碰到初中數學學習的瓶頸，這正是因為初中數學需要遷移能力。遷移能力首先源自于對基礎知識的把握，在正確把握了基礎知識之后，總結相關規律，才能更好地發揮和把握出題者的意圖，從而獲得遇題即可開始解答的熟練程度。教師也要在講解過程中刻意地去訓練學生的這種舉一反三能力。本文將舉例說明這種舉一反三式的“變臉”藝術。

一、總結“小定理”

應對初中數學題目變式繁多的問題，作為教師，我們不妨給學生降低難度門檻，給學生總結一些課本上沒有的小規律，這些小規律，也是一些小定理，雖然課本上沒有總結過，但是在平時我們教學中頻繁遇到，每次都讓學生自己去證明，固然會浪費大量時間。通過總結這些規律，我們不僅可以提高教學效率，也可以提高學生的學習效率和做題效率。

這些小定理，有的可能被作為口訣記憶，有的可能取了一些好聽的小名字。例如我們常說的等角對等邊就是個經典例子，等腰三角形能推出其兩個腰相等，也能推出其兩個腰對應的角相等，反著推也可以，三角形的兩個邊相等，能推出其是等腰三角形，三角形的兩個角相等，也能推出其是等腰三角形，所以我們就有三角形的兩個角相等，其對應的邊也相等，三角形的兩個邊相等，其對應的兩個角也相等。這些話說起來，很容易將人繞暈，歸結起來就是兩句話，等角對等邊，等邊對等角。有些學生害怕這些繞來繞去的定理公理，不妨就這種簡單易記的語句方便他們記住，這是他們應對變臉例題的法寶之一。

又例如，我們總結的“看見中線延長一倍”，之所以要說這句話，不是僅僅讓學生念口訣，而是希望他們知道這句話的目的。在幾何證明里，中線出現頻繁，一旦出現中線，就已經有了兩個對等的邊了，延長一倍之后，立刻會出現一副對頂角，和另一組對等的邊。如此一來，我們便快速構造出來了一個全等三角形，這才是這個定理總結的意義所在。至少，要讓學生先記住這句話，對于那些基礎不扎實的學生，記住這些，就是他們能夠學會舉一反三的第一步。

二、聯想遷移

通過總結一些小結論，使得學生縮短腦回路。即見到特定的條件，便立刻想到相應的結論，從而，讀到題目的某些條件時，腦海立馬浮現出結論，相當于題目率先就告訴你結論了。實際上，許多題目都是這種小結論的變體，有些可能是這些小結論的合體。如果教師在平常教學中，注意提醒學生總結這些小定理，那么教學的效率便會逐漸提高了。

但是例題的變臉其實也不僅僅是這些現成的東西，還有很多是需要稍微動腦的遷移。比如，關于圓的切割線定理。切割線定理本身沒有在教材中出現，但是在初三，這一定理反復出現。由切割線定理延伸出來的還有切線定理、割線定理。這三個定理都可以獨自證明（利用相似），也可以相互證明。切割線定理可以說成，同一點引出的切線和割線，切線段長的平方等于割線與圓交點的兩條線段長乘積，它的證明可以通過先證明兩個三角形相似得到。

那么割線定理可以借切割線定理證明，即過一點作一條切線和兩條割線，通過切線過渡，證明兩條割線的比例關系，這就是知識的遷移應用。同樣，為了培養學生的遷移能力，可以讓學生試著用另外一種方法去證明，即證明兩個三角形相似。

三、應用舉例

接下來，本文舉出一個實戰例題：

如圖，首先來看圖1，EF是圓O的切線，F是切點，P是切線上一點，EC是圓O的割線，AC都是割點，∠PBE=∠PEC，請證明：PF=PE。

這道題，要證明PF=PE，可能難倒一些學生。證明相等，很多學生會想方設法構造全等三角形。又或者作各種輔助線。會想到證明P是EF的中線，不妨延長一倍等等，其實都不對。如果對切割線定理熟悉的話，其實這題可以將證明相等轉化到證明相似。

根據切割線定理，我們有PF2=PB·PC，下面證明PE2=PB·PC就可以得到PF=PE。而證明PE2=PB·PC的方法也不難，根據條件∠PBE=∠PEC得到△PBE與△PEC相似，由比例交叉相乘即可得到PE2=PB·PC。

這道題目體現了例題講解中的舉一反三的能力遷移，如果將這個題目變換一下，變成圖2，題設變為：

如圖2，EF、EC分別為圓O的切線、割線，F是切點，弦 AD//EF，ED交圓O于B，弦CB的延長線交EF于P，請證明證：PE=PF。

其實，雖然條件變了，但是這道題的基本思想不會改變，仍然是聯合相似三角形的比例以及切割線定理進行解答。只不過這里改為利用平行找到角相等，從而證明△PBE與△PEC相似。

圖3、圖4分別是其它的變式，思路基本相同，不再贅述，在教學時可以讓學生仿照前例，自行解答。

圖3中，弦AD與CB相交于E，P為AB延長線上一點，PE//CD，PF為圓O的切線，F是切點，要求證明：PE=PF。

圖4中，AB和CD兩弦的延長線相交于圓外一點E，PE//AD，PE交BC的延長線于E，PF是圓的切線，F是切點，要求證明：PE=PF。

四、總結

把握例題講解中的“變臉”藝術，實際上就是要讓學生學會遷移應用，保證學生的知識實現模塊化，即學生將一個一個熟悉的知識點串聯起來，將特定的例題總結成小定理，然后再進行聯想遷移，不管遇到什么樣的例題變式，都可以分步解決。在教學中注重培養學生這種舉一反三、遷移應用的能力，將大大提高教學效率。

參考文獻：

[1]費麗超.學習遷移理論在初中數學教學中的應用分析[J].課程教育研究，2019（14）：141-142.