變系數復mKdV方程的孤子動力學模擬

昌霞　雷宇　譚家寧　唐炳

摘 要：本文使用達布變換求得了包含“增益”或者“損耗”部分的變系數復mKdV方程的單孤子和雙孤子解。另外，利用Mathematica軟件，模擬了孤子隨時間演化的動力學行為。

關鍵詞：變系數復mKdV方程;可積系統;孤子動力學

中圖分類號：O 411文獻標識碼：A

復數形式的mKdV方程最早在等離子體物理學被發現。現如今，這個方程已經廣泛應用于等離子體、分子鏈以及非線性光學超短脈沖等物理體系的相關理論問題的研究中。理論上，復mKdV方程及其實數形式都可為可積的非線性方程。通過采用雙線性方法或達布變換，多數研究者能夠找到變系數復mKdV方程的孤子解、呼吸子解、有理數解甚至怪波解。[1]本文將主要關注包含“增益”或“損耗”項的變系數復mKDV方程，即qt+f（t）qxxx+6g（t）|q|2q-0.5h（t）q=0，其中h（t）為“增益”或“損耗”系數。

1 達布變換和孤子解

本文使用達布變換[2]并借助Mathematica軟件進行符號運算來尋找變系數復mKdV方程的單孤子解和雙孤子解。若用q=0作為種子解，借助一階和二階達布變換，分別能夠求得此方程的單孤子解和雙孤子解。

在圖1中，用達布變換求解得到的單孤子和雙孤子解的具體形式被完整的展示出來。注意到，這些孤子解的形式與其他文獻中變系數復mKdV方程不一樣。而且，使用Mathematica軟件進行驗證的結果表明求得的孤子解為精確解，即代入原方程能夠保證其成立。

2 孤子動力學模擬

在這節中，選擇常數非線性（即g（t）=1），并設置色散為周期性的（f（t）=sin（t）），使用符號計算軟件對單孤子和雙孤子的動力學演化進行模擬。圖2展示了單孤子和雙孤子的三維演化圖。由于h（t）在此參數限制下為周期函數，“增益”和“損耗”交互變化，于是孤子的行為也表現出周期性行為。

（a）單孤子

（b）雙孤子

圖2 孤子演化圖

3 結論

本文使用達布變換，得到了包含增益”或“損耗”項的變系數復mKDV方程孤子和雙孤子的嚴格解。另外，使用符號計算軟件模擬了單孤子和雙孤子的動力學行為。結果表明：若選擇特定的參數，孤子的動力學演化呈現出周期性。

參考文獻：

[1]V.N.Serkina，T.L.Belyaevab，Novel conditions for soliton breathers of the complex modified Korteweg-de Vries equation with variable coefficients[J]，Optik，2018，172：1117-1122.

[2]谷超豪，胡和生，周子翔.孤立子理論中的達布變換及其幾何應用[M].上海：上海科學技術出版社，2005.

基金項目：國家級大學生創新創業訓練計劃項目（項目編號：201810531014）

作者簡介：昌霞（1998-），女，2016級物理學專業本科生，研究方向：可積系統;雷宇，2017級物理學專業本科生;譚家寧，2016級物理學專業本科生;唐炳，博士，副教授，研究方向為理論物理。