樹狀圖在數學分析教學中的應用

蘇丹

摘 要：樹狀圖是把分類單位擺在圖上樹枝頂部，根據分枝可以表示其相互關系，它可以既不重復又不遺漏地列舉出所有符合條件的對象。本文針對樹狀圖在數學分析教學中的幾點應用進行討論。

關鍵詞：樹狀圖;復合函數;二元復合函數;隱函數;隱函數組;全微分;求導

【中圖分類號】G【文獻標識碼】B【文章編號】1008-1216（2019）09B-0098-03

數學分析課程中涵蓋了大量的基礎性概念知識，這會使學生在學習的過程中感到抽象與枯燥，從而導致學生的學習興趣下降，最終影響對學生數學實際應用技能的培養。在教學過程中積極探索該課程的實踐性已成為近年來教學改革的熱點，目的在于激發學生學習數學分析的興趣，提高課堂教學效果。本文主要針對樹狀圖在數學分析教學中的應用進行討論。

樹狀圖是不包含回路的連通圖，也叫樹枝狀圖。樹狀圖本身由結和連接結的枝組成。在日常事物關系中，樹狀圖的應用情況是很多的。比如，封建時代的家譜或者族譜是用樹狀圖來代表的;河流的支流和分支也可用樹狀圖來表示;在學習概率問題時經常需要畫樹狀圖，在概率統計這門課程中，樹狀圖起到了一種“模型”的作用，它可以清晰地看出元素的排列順序及層次，進而準確地計算出排列種數，使之不重復，不丟項;同樣的，樹狀圖在數學分析教學中也有比較重要的應用，在進行多元復合函數求偏導數，多元復合函數求高階偏導數，多元函數求全微分，隱函數和隱函數組求偏導數等運算時，樹狀圖就發揮了可以不重復又不遺漏的特點，給我們解決問題提供了極大的便利。下面，從這四個方面分別闡述一下樹狀圖在數學分析教學過程中的應用。

一、用樹狀圖在二元復合函數求一階偏導以及求全微分中的應用

多元函數的復合函數求偏導數運算與一元函數的求導運算比較起來，因為變量個數增加，同時變量間也滿足一定的函數關系，所以處理起來一般比較復雜，它在數學分析的學習過程中既是重點，同時也是難點。我們必須特別注意正確區分復合函數中哪些是自變量，哪些是中間變量，只有這樣才能正確使用鏈式法則求出結果;其次，為了便于記憶鏈式法則，可以按照各變量間的復合關系，畫出樹狀圖，并在每一條分支上標出上一個變量關于下一個變量的求導關系，最后再按照同一路徑的不同分支之間用乘法運算符號連接，不同路徑之間用加法運算符號連接的運算法則進行運算，就能得出最終的運算結果。

下面通過二元復合函數的例子看怎么利用樹狀圖解決此類問題。

例1：設 z=（x+y）^xy，求dz 。

解：本題是計算二元復合函數全微分的，那么我們首先要弄清楚求全微分和求偏導數之間的關系，進而再解決問題。

關于二元復合函數如何求全微分，我們已經學習了如下定理：

若二元函數z在其定義域D內每一點（ ）都可微，則z在每一點關于每個自變量的偏導數都存在，且z在D上全微分為dz（x，y）=z_x（x，y）dx+z_y（x，y）dy

觀察求解全微分的公式，可以看出要想計算dz，首先要先計算出zx和zy，也就是說求全微分的本質就是計算二元復合函數關于其所有自變量的一階偏導數。那么在計算之前要先判斷變量與變量之間的關系，哪些是中間變量，哪些是最終自變量。

為了更容易理解，在這里的處理方法有一定技巧，可以先令，則z=uv，從這里可以看出來引入的u和v是中間變量，而x和y是最終自變量，接著就可以用畫出樹狀圖1表示求導關系。首先，從因變量z向中間變量u，v畫出兩個分枝，然后再分別從中間變量u，v向自變量x，y畫出分枝，并在每個分支旁寫上對應的偏導數，求zx時，只要把從z到x的每條路徑上的各個偏導數相乘，然后再將這些乘積相加即得，同理可以求出 。下面列出算式：

根據樹狀圖1，結合運算法則，得到則

注：在處理這種題型時，我們也可以利用多元函數的一階全微分形式不變性的知識點來求全微分，利用微分形式的不變性，可以有條理地計算復雜函數的全微分。但是本文著重點在于介紹樹狀圖的方法，利用不變性的這種方法就不再贅述了。

二、用樹狀圖在二元復合函數求二階偏導中的應用

眾所周知，多元復合函數求高階偏導數時往往會出現各種各樣的問題：比如不能正確使用公式，少項、多項等，特別是函數關系是抽象的函數時，因為函數具體表達式不清楚，學生在學習和解決這部分題目時往往無從下手，所以更容易出現錯誤。分析其錯誤時，不難發現主要在對一階偏導再求導這一步上，沒有弄清楚一階偏導函數仍然是以原來的中間變量為中間變量，原來的自變量為自變量的函數，因而不能很好利用復合函數求導公式，如果利用樹狀圖就可以避免出現這類錯誤。因為樹狀圖可以清晰地表示出每上一個變量與下一個變量的關系，從而做到不漏項、不多項，所以在解決計算多元復合函數高階偏導數的問題時，可以優先考慮畫出樹狀圖，進行計算，會使問題簡化很多。

下面通過例題來說明。

例2. 設

解：通過觀察題意可知，這里z是以x，y為自變量的復合函數，而且這里函數f的形式是抽象函數而不是具體函數，要想解決此類問題，可以把函數表達式改寫成如下形式： 然后再進行計算，可以先計算，其中引入的變量u，v為中間變量，變量x，y為最終自變量。接下來可以首先從因變量z向中間變量u，v畫出兩個分枝，然后再從中間變量u向自變量x畫出分枝，同時從中間變量v向自變量x，y畫出分枝，并在每個分支旁寫上對應的偏導數，求 時，只要把從z到x的每條路徑上的各個偏導數相乘，然后再將這些乘積相加即得，同理可以求出 。下面列出算式：

借助于樹狀圖4表示求導關系：

所以有

注意：這里，仍然是以u，v為中間變量的復合函數，所以接下來可以首先從因變量向中間變量u，v畫出兩個分枝，然后再從中間變量u向自變量x畫出分枝，同時從中間變量v向自變量x，y畫出分枝，并在每個分支旁寫上對應的偏導數。另外從因變量向中間變量u，v畫出兩個分枝，然后再從中間變量u向自變量x畫出分枝，同時從中間變量v向自變量x，y畫出分枝，并在每個分支旁寫上對應的偏導數，最后利用用樹狀圖3和樹狀圖4，求。

首先有

其中可由樹狀圖3求得：

所以得到

同理也可以求? 。

注意：用樹狀圖進行多元復合函數求導時，不要求解釋具體的關系，只是借用樹狀圖的結構，將多元復合函數的求導形象化，避免多項，漏項。

三、用樹狀圖在隱函數和隱函數組求導中的應用

在一般情況下，我們在用隱函數的知識解決問題時，主要考慮隱函數的連續性和可微性，而不管它是否能用顯式表示。同樣，對于隱函數組，我們在進行求導時，更重要的先明確哪些變量是自變量，哪些變量是因變量，然后再進行有關的運算和討論。這些特點，都為能采用樹狀圖去解決隱函數和隱函數組求導問題提供了便利。

另外，對于隱函數或者隱函數組的函數表達式是具體函數時，一般不采用樹狀圖，而是直接利用公式或者直接對式子本身去求導即可，而對于隱函數和隱函數組的具體函數表達式不具體時，樹狀圖的應用就凸顯了優勢，當然在這里更重要的是要找到變量與變量間的關系，畫出樹狀圖。下面主要通過隱函數組的例子來具體說明一下：

例3. 設函數f（x，y），g（x，y）具有連續偏導數，而u=u（x，y）v=v（x，y）是由方程組確定的隱函數組，試求和。

解：分析題意，我們可以直接利用公式求出和，另外從題目中的方程組可以看出，給出的的兩個方程都不是具體的函數表達式，那么在這里就可以嘗試用樹狀圖來解決問題。

首先，構造出F（x，y，u，v）和G（x，y，u，v），這個由題目中的兩個方程很容易實現，

設

則對此方程組中的F（x，y，u，v）=u-f （ux，v+y）=0，令ω=ux，h=v+y，另外對此方程組中的G（x，y，u，v）=g （u-x，v2y）=0，令m=u-x，n=v2y，由此可看出ω，h，m，n，u，v都是中間變量，而x，y是最終自變量。

我們可以從變量f向中間變量ω，h畫出兩個分枝，然后再從變量ω向變量u，x畫出兩個分枝，變量h向v，y畫出兩個分枝，最后分別從變量u，v分別向自變量x，y畫出分枝，并在每個分支旁寫上對應的偏導數。另外從變量g向中間變量m，n畫出兩個分枝，然后再從變量m向變量u，x畫出兩個分枝，變量n向v，y畫出兩個分枝，最后分別從變量u，v分別向自變量x，y畫出分枝，并在每個分支旁寫上對應的偏導數。就得到了樹狀圖如下：

對F（x，y，u，v）=u-f （ux，v+y）=0和 G（x，y，u，v）=g （u-x，v2y）=0方程兩端分別關于x求偏導，直接根據樹狀圖5和樹狀圖6，可得到

解此方程組，可得

同樣的方法，我們也可以計算出和。

注：樹狀圖在數學分析教學中引用，具有清晰，直觀，形象，各變量不易重復與遺漏等優點，特別是函數結構復雜和函數關系抽象的函數，引用樹狀圖求二元復合函數一階偏導，高階偏導，全微分，隱函數和隱函數組求導時可避免很多困難 。

總之，用樹狀圖去解決數學分析中關于多元復合函數的求導問題，不僅可以使問題變得形象化，使枯燥的數學理論變得生動有趣起來;而且在課堂教學中可以激發學生的學習興趣，充分調動了學生的學習積極性，使學生在課堂中能積極地思考問題，同時展開熱烈的討論，進而極大地提高學生的學習效率。今后在進行數學分析的課堂教學實踐中，要學會把理論問題形象化，圖像化，實現教與學的和諧統一。

課題項目：湛江幼兒師范專科學校教育教學改革研究與實踐項目（2019ZYCQ18）.

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