基于漸近線選擇的TDOA定位算法

胡 榮，李 琴

(1.文華學院城市建設工程學部，武漢 430074；2.遼寧省交通高等專科學校，沈陽 110122)

隨著無線通信技術的快速發展以及人們對地理位置信息需求的增加，基于到達時間差(Time Difference of Arrival，TDOA)的無線定位技術在軍事應用、空間探索、交通管理、緊急救援等領域應用越來越廣泛[1-2]。TDOA定位算法不需要定位基站間保持時間同步，而且其抗干擾能力強、定位精度相對較高、隱蔽性好，在目前蜂窩系統移動臺定位中占據重要位置[3-5]。

目前，常用的TDOA 定位算法主要包括Chan算法[6]、Taylor級數算法[7]、Fang算法[8]等。Chan算法的優勢在于當測距誤差較小時，定位精度較好，但當測距誤差增大時，定位精度會迅速降低；Taylor級數算法由于采用迭代運算，定位精度受迭代的初始選擇點影響較大；Fang算法同樣在測距誤差較大時性能會降低很多。近年來，許多基于TDOA的改進定位算法被提出。文獻[9]在常用的Chan算法中融入差分演進算法，減小了測量噪聲對定位精度的影響；文獻[10]將加權最小二乘法應用在TDOA定位中，并利用閾值將坐標參數和測量值分開，建立待求基站的線性方程；文獻[11]針對Taylor級數算法中可能選擇的較差初始值，使用衰減奇異值分解法進行修正，使迭代算法的求解結果能夠收斂到真實位置，在低信噪比的情況下能有更好的定位精度。文獻[12]建立了一種基于貝葉斯框架檢測概率模型，通過該模型將TOA和TDOA測量值進行融合，實現目標定位。本文提出一種基于漸近線選擇的TDOA定位算法，通過計算離心率選擇合適的漸近線參與定位，提高了定位精度。

1 TODA雙曲線定位模型

1.1 基本原理

TDOA雙曲線定位[13]是通過測量無線信號從移動臺到兩個不同基站所需的時間差，計算移動臺的坐標。如圖1所示，利用測量得到的時間差，計算移動臺MS到兩個基站BS1，BS2的距離差，根據幾何知識，MS位于以BS1和BS2為焦點的雙曲線上。如果要得到MS的位置，還要求出MS到BS1和BS3的距離差，構建以BS1和BS3為焦點的雙曲線，則兩條雙曲線交于兩點，根據先驗知識，可以確定MS的位置。

圖1 雙曲線定位示意圖

1.2 定位模型

假設二維平面上有N個基站，BSi和BSj分別表示第i個和第j個基站，則移動臺MS到兩個基站BSi和BSj的測量距離差等于傳播速度乘以測量時間差，由此可得：

rij=cΔtij=ri-rj

(1)

式(1)中:ri表示MS與BSi之間的測量距離；rj表示MS與BSj之間的測量距離；rij表示BSi和BSj間的測量距離差；Δtij表示無線信號從MS分別到達BSi和BSj的時間差；c表示信號傳播速度。

將MS的坐標記為(x,y)，基站BSi的坐標記為(xi,yi)，另外，把BS1看作服務基站，可得：

ri1=cΔti1=ri-r1

(2)

式(2)中：

(3)

(4)

由式(4)可以得到一條雙曲線，它的焦點坐標分別為(x1,y1)和(xi,yi)，并且MS處在該雙曲線上。根據N個基站，可以得到N-1個Δti1測量值和N-1對雙曲線。求解聯立式(3)所示的N-1個等式，即可求出MS的定位坐標。

在式(3)中，令xi1=xi-x1，yi1=yi-y1，可得：

(5)

令：

則式(4)可表示為：

Ar=H

(6)

進而可以求出移動臺MS的坐標。

2 基于雙曲線漸近線的TDOA定位算法

在常用的TDOA算法中，Chan算法在噪聲較小時才能取得較好的定位精度，Taylor級數算法的定位效果則受迭代初始值得影響，當初始值誤差較大時，算法的收斂性會大大降低，影響定位效果。而以兩個基站為焦點可以構成一對雙曲線，本節利用此雙曲線的漸近線構造方程組進行定位。

如圖2所示，在XY坐標系中，基站BSi和BSj的坐標記為(xi,yi),(xj,yj)，以BSi和BSj為焦點形成一對雙曲線，用Kij表示其漸近線的斜率，則該雙曲線的漸進線為：

(7)

在圖2中，α為BSi和BSj的連線和X軸形成的夾角，η表示BSi和BSj的連線和上述漸近線形成的夾角，則從圖2可知，該漸近線和X軸間的夾角大小為α+η，并且：

(8)

圖2 漸近線斜率求解示意圖

假設在圖2所示的X′Y′坐標系下，BSi和BSj的坐標為(-c0,0)、(c0,0)，移動臺MS的位置坐標記為(x′,y′)，MS到BSi和BSj的傳輸時間差TDOA值記為Δtij，信號傳播速度記為c，則BSi和BSj間的距離表示為：

dij=2c0

(9)

可得到TDOA方程為：

(10)

則η可表示為：

(11)

以BSi和BSj為焦點確定的雙曲線漸近線傾斜角表示為：

(12)

θij的正切值就是該雙曲線漸近線的斜率，即：

Kij=tanθij

(13)

在XY坐標系下，MS的位置坐標記為(x,y)，N個基站的位置坐標記為BS1(x1,y1)，BS2(x2,y2)，…，BSN(xN,yN)。把基站BS1看作服務基站，可得雙曲線的漸進線方程組為：

CX=D

(14)

式中：

在實際環境中，非視距等原因會導致出現誤差，式(14)兩端并不完全相等，式(14)可改寫為：

CX-D=E

(15)

使用最小二乘法求解式(15)所示的超定方程組，可以得到較為精確的解，得：

f(X)=(CX-D)2=(CX-D)T(CX-D)

(16)

式(16)兩端同時求導，并且令導數值為零，即：

(17)

若CTC是非奇異矩陣，可求得X為：

X=(CTC)-1CTD

(18)

3 基于漸近線選擇的TDOA定位算法

由式(12)、式(13)可以看出，漸近線的傾斜角與Δtij的值有關，應用在實際環境中時，TDOA估計存在誤差，并且移動臺MS和各個基站之間的測量距離差也存在誤差εij，設實際測量得出的MS和各個基站之間的距離差表示為：

(19)

則漸近線的傾斜角測量結果表示為：

(20)

對式(20)右側第二項進行泰勒級數展開，因為誤差εij很小，這里僅展開到一階導數部分，有：

(21)

(22)

式(22)中，dij/|cΔtij|表示雙曲線的離心率e，即e=dij/|cΔtij|。則式(22)可表示為：

(23)

如果噪聲εij不變，離心率e會對nij的值產生重要影響。當e>1并且接近1時，e的微弱變化會引起nij的劇烈變化；當e<1時，計算結果為復數，此時應忽略該結果，重新選擇基站進行位置計算。

(24)

圖3 f(x)=arccos x的彈性函數圖像

4 仿真分析

4.1 仿真條件

(25)

式(25)中，(X,Y)是MS位置的真實坐標值；(x,y)是MS位置的估計坐標值；n是仿真次數。

圖4 小區內基站和移動臺分布情況

4.2 仿真結果分析

1)小區半徑和均方根誤差的關系

圖5所示為小區半徑分別為2 km、3 km、4 km、5 km時，3種算法的定位性能比較，其中，TDOA測量誤差的標準差取值為80 m，參與定位的基站數目為6個。由圖5可知，當小區半徑逐漸增大時，3種算法的均方根誤差(RMSE)同樣在增大。由于本文仿真只將測量誤差考慮在內，忽略了非視距的影響，因此，Chan算法和Taylor算法能夠將TDOA測量信息充分利用，當小區半徑越來越大時，這兩種算法的均方根誤差曲線增加較為緩慢，本文算法的均方根誤差曲線增加較快，但是本文算法的均方根誤差始終小于其余兩種算法。當小區半徑為5 km時，本文算法的均方根誤差分別相對于Chan算法和Taylor算法降低了9.7%和18.8%。

圖5 小區半徑和均方根誤差的關系

2)基站個數和均方根誤差的關系

圖6所示為基站個數分別為4、5、6、7個時，3種算法的定位性能，其中，TDOA測量誤差的標準差取值為80 m，小區半徑為3 km。由圖6可以看出，當參與定位的基站數目增加時，定位過程中產生的可用冗余信息就會更多，因此3種算法的定位精度也隨之提高。同時，基站數目的增加也會使本文算法中雙曲線的條數增加，在定位過程中選中的雙曲線條數也會增加，本文算法的定位精度也就越高。當基站數目大于6個時，本文算法的均方根誤差曲線逐漸趨于平穩，算法性能更加穩定。

圖6 基站個數和均方根誤差的關系

3)測量誤差和均方根誤差的關系

圖7所示為測量誤差標準差分別為40 m、60 m、80 m、100 m、120 m時，3種算法的定位性能比較，其中，參與定位的基站數目為6個，小區半徑為3 km。由圖7可以看出，在測量誤差較小的情況下，3種算法的均方根誤差幾乎相等。隨著測量誤差的增大，3種算法的均方根誤差都在增大，但本文算法的定位性能相較于Chan算法和Taylor算法而言有明顯的改善，這是因為本文算法在計算過程中對測量誤差可能帶來的影響進行了最大程度的規避，提高了定位性能。

圖7 測量誤差和均方根誤差的關系

5 結論

本文提出了一種基于漸近線選擇的TDOA定位算法，在建立的基于雙曲線漸近線的定位模型基礎上，對雙曲線漸近線的斜率表達式進行一階泰勒級數展開，并分析了測距誤差對定位結果的影響。然后根據引入的彈性函數設置閾值，根據離心率選擇合適的漸近線進行位置估計，從而減小了離心率接近于1的漸近線對定位結果的影響。由仿真結果可知，相同條件下，可以獲得比Chan算法和Taylor算法更好的定位效果。