疲勞和剛度失效模式下礦井提升機主軸系統的可靠性研究

王海峰,王新剛,胡福豪

(東北大學 機械動力學與可靠性研究中心，河北 秦皇島 066004)

主軸系統作為礦井提升機的關鍵組成及承載部分，其工作狀態的穩定性和可靠性直接影響整個提升機系統的可靠性[1]。主軸系統長期受到隨機交變載荷的作用，各個零件內部損傷逐漸積聚擴展，材料的各種物理屬性如初始強度也出現逐漸退化的趨勢[2]。另一方面，由于主軸系統受載狀態復雜和工作環境較為惡劣，且各功能部件的動力傳遞互相影響，且多種失效模式耦合在一起，分析較為困難。傳統的基于靜強度理論的可靠性方法不能很好的反映出主軸系統在性能退化下的各種失效模式耦合作用對主軸系統及整機可靠性的影響，因此很難準確估計出提升機的使用壽命。Song和Kang[3]通過矩陣的代數運算描述了機械系統中的失效相關性，同時采用相關系數矩陣法對研究對象進行可靠性預估。Zhang等[4]采用最大熵法、隨機攝動法等，對多自由度系統中存在的單一相關失效模式的可靠性進行了研究和分析。Yu等[5]以冗余系統為研究對象，通過“相關性函數”建模來描述其各個失效模式之間的相關性。Schottl[6]在總結前人研究成果的基礎上，提出了基于失效相關的系統可靠性數學模型，此模型的應用范圍更為廣泛，它不僅可以用于分析共因失效，還能用于描述多種不同原因造成的失效。Sun等[7]通過建立失效相關的可靠性數學模型對零件的失效相關程度進行了量化描述。上述文獻方法僅考慮了失效模式之間相關性的數學建模和對可靠性的影響，沒有考慮產品性能退化及相關系數變化對模型建立和精度的影響。

本文從強度退化和失效模式相關性兩個角度的出發，借助Gamma過程和混合Copula理論建立提升機主軸系統的可靠性數學模型，并采用Monte Carlo method法對考慮多種失效模式下礦井提升機主軸系統及其零件的可靠性進行仿真分析，給出主軸系統的可靠度變化趨勢，為實際工程中準確評估提升機的整機性能和剩余壽命提供理論支撐。

1 主軸系統的力學分析

1.1 主軸系統的基本結構及提升周期

礦井提升機主軸系統結構如圖1所示，包括主軸、游動卷筒、固定卷筒、輪轂等附屬零件。

提升機在作業時，整個主軸的受力情況較為復雜，直徑不同的主軸截面受力情況也不同，很難直接去計算整個主軸在各種工況時的受載情況。本文總結了以往的研究成果，首先確定出其危險截面，即固定卷筒左支輪所在的截面[8-9]，其次，按照表1所示6種工況對主軸進行受力分析，模擬出危險截面在各種工況下的力學模型，并按此模型進行后續主軸可靠度的分。

表1 工況表

根據主軸轉速和卷筒有效寬度(鋼絲繩的有效纏繞寬度)，可求出每種工況的作業時間t，6種工況組成一個完整的周期，時間為7.2 min。

t=t1=t2=t3=t4=t5=t6=

(1)

1.2 系統主要部件的力學分析

表2為主軸系統各零部件物理參數。

表2 主軸系統各零部件物理參數

續表(表2)

為分析計算方便，在主軸的各軸段選擇5個截面，受力簡圖如圖2。

圖2 礦井提升機主軸受力簡圖

圖中，Pi為各截面處的主軸重力，Pi′為各截面處的零件重力，Pik-x為各截面處的鋼絲繩重力。其中，i=1,2,3,4,5分別對應五個截面，x=1,2,3,4,5,6分別對應六種工況。在考慮主軸重力、鋼絲繩重力、附屬件重力下的各截面處的載荷如式(2)所示：

(2)

已知危險截面處直徑、抗彎截面系數和抗扭截面系數，

得出危險截面截面4處的彎曲應力、扭轉剪切應力如式(3)所示：

(3)

由式(3)可得，疲勞強度失效模式下主軸的功能函數：

(4)

其合成應力S的表達式如式(5)所示，主軸和卷筒危險截面的受力分析及推導過程見文獻[10]。

(5)

綜合分析主軸及卷筒所受到的重力和繩拉力得出危險截面的合成應力變化分別如圖3和圖4所示。

圖3 主軸危險截面合成應力

圖4 卷筒危險處合成應力

2 各零件的強度退化模型

本文用Gamma過程來描述材料的強度退化規律，從材料的疲勞試驗數據著手，利用Matlab模擬出P-S-N函數式，并對Gamma過程中的形狀參數v(t)及退化尺度參數u進行估計，得出材料的強度退化數學模型。

主軸材料為45號鋼，利用Matlab對采集的45號鋼的疲勞實驗數據進行曲線模擬，如圖5所示。

已知提升機主軸額定轉速為40 r/min，取時間單位為h，主軸受載次數N與時間t存在如下關系：N=f(t)=40×60t=2 400t。將不同存活率下S-N曲線轉化為相應S-t曲線，得出45號鋼在4種不同存活率下S-t曲線的顯示表達式如表3所示。

圖5 主軸材料的P-S-N曲線

表3 P-S-t曲線顯示表達式

取時間段[t1,t2]=[2 500,5 000]h，根據P-S-t曲線可得強度退化量估計值ΔDm1如表4所示，均值何方差如式(6)所示。

表4 強度退化量的估計值

(6)

Gamma過程中的形狀參數v(t)及退化尺度參數u的估計值如下：

(7)

取步長為tn=n×2 500小時，則tn+1=(n+1)×2 500。當n=1～9時，求所有時間區間[tn+1,tn]對應的un和an的值，如表5所示。

表5 Gamma參數估計值

主軸Gamma退化過程特征參數的估計值分別為：

(8)

因此，主軸的強度退化服從形狀參數為v(t)=6.853 3t，尺度參數為u=4.592 0×103的Gamma過程。主軸材料的強度退化規律如圖6所示。

同理可得，卷筒材料的強度退化規律如圖7所示。

圖6 主軸材料的強度退化趨勢

圖7 卷筒材料的強度退化趨勢

3 主軸系統的可靠性分析

3.1 主軸的動態可靠度分析

主軸在長期交變載荷作用下，其強度會逐漸降低。因此，主軸在疲勞強度失效模式下的可靠度模型是隨時間變化的動態模型[11]：

(9)

式(9)中各參數值如表6所示。

表6 主軸疲勞失效模型參數值

采用蒙特卡洛抽樣法，對模型中的各部分參數分別抽樣75 000次，可得到主軸在疲勞強度失效模式下的動態可靠度曲線，如圖8。

圖8 疲勞強度失效模式下主軸的動態可靠度曲線

同理，主軸在剛度失效模式下的可靠度模型也是隨時間變化的動態模型：

(10)

式(10)中各參數值如表7所示。

表7 主軸剛度失效模型參數值

主軸在剛度失效模式下動態可靠度曲線如圖9。

圖9 剛度失效模式下主軸的動態可靠度曲線

3.2 卷筒的動態可靠度分析

疲勞強度失效模式下卷筒的可靠度模型為：

(11)

式(11)中各參數值如表8所示。

表8 卷筒疲勞失效模型參數值

卷筒在疲勞強度失效模式下的動態可靠度曲線如圖10。

圖10 疲勞強度失效模式下卷筒的動態可靠度曲線

卷筒在剛度失效模式下的可靠度模型是隨時間變化的動態模型：

(12)

模型中各參數值如表9所示。

表9 卷筒剛度失效模型參數值

卷筒在剛度失效模式下動態可靠度曲線如圖11。

圖11 剛度失效模式下卷筒的動態可靠度曲線

3.3 失效模式相關下的各零件可靠性分析

主軸在兩種失效模式下的功能函數分別為：

(13)

本文采用混合Copula函數C1(·)來描述G11與G12之間的相關性[12]，如式(14)所示。式中：CG、CC和CF分別為Gumbel、Clayton和Frank Copula函數；α，θ，λ分別為其對應的未知參數；wi(i=1,2,3)為加權系數，且w1+w2+w3=1。其中，相關參數α，θ，λ可以對變量之間的相關程度做定量描述，加權系數w1，w2，w3可以表示變量之間相關模式。

C1(·)=C(u,ν)=w1·CG[u,ν;α]+

w2·CC[u,ν;θ]+w3·CF[u,ν;λ]=

(14)

根據平方和最小法對C1(·)中的6個參數進行計算，DSS取得最小值時所對應的參數結果即為最優解：

(15)

通過fmincon函數求解模型中的各未知參數：

(16)

參數估計結果如表10所示。

表10 混合Copula函數參數估計結果

主軸在疲勞強度失效模式下的可靠度R1，在剛度失效模式下的可靠度R2，令P1n(n=1,2)為主軸在第n種失效模式下的失效概率，λ1為主軸在失效相關時總失效概率，則主軸在失效相關情況下的動態可靠度模型[13]如式(17)所示。

R12=1-λ1=1-Pr(G11≤0∪G12≤0)=

1-{Pr(G11≤0)+Pr(G12≤0)-

Pr(G11≤0∩G12≤0)}=

1-{P11+P12-C1(P11,P12)}

(17)

由上式可知主軸在疲勞強度失效和剛度失效相關情況下的可靠度如圖12所示。

圖12 失效相關下的主軸可靠度

同理可得，用于描述卷筒中失效相關的混合Copula函數參數估計結果如表11所示。

表11 混合Copula函數參數估計結果

則卷筒在疲勞強度失效和剛度失效相關情況下的動態可靠度如圖13所示。

圖13 失效相關下的卷筒可靠度

3.4 失效相關下主軸系統的動態可靠度

借助四維混合Copula函數描述主軸系統中各個零件之間的失效相關性，所構建的四維混合Copula模型結構如圖14所示。

圖14 四維混合Copula模型結構簡圖

疲勞強度失效模式和剛度失效模式下主軸和卷筒對應的功能函數分別記為G11、G12、G21和G22，建立四維混合Copula函數C3(·)來描述G11、G12、G21和G22四個功能函數之間的關聯性。

C3(·)=C(u,ν,y,z)=w1·CG[u,ν,y,z;α]+

w2·CC[u,ν,y,z;θ]+w3·CF[u,ν,y,z;λ]=

(18)

四維混合Copula函數參數估計結果如表12所示。

表12 混合Copula函數參數估計結果

主軸系統在失效相關情況下的可靠度如圖15所示。

圖15 失效相關下的主軸系統可靠度

根據失效相互獨立可靠性假設理論，單一零件的可靠度等于各失效模式下的可靠度之積，同時整個系統的可靠度等于各組成零件在各失效模式下的可靠度之積[14]。根據失效完全相關可靠性假設理論，單一零件或系統的可靠度等于各失效模式中的最薄弱環節的可靠度。主軸、卷筒及系統在相互獨立、失效相關、完全相關3種情況下的可靠度曲線分別如圖16～18所示。

圖16 主軸可靠度

圖17 卷筒可靠度

圖18 主軸系統可靠度

由以上三圖可知，零件或系統在3種情況下的可靠度均隨著提升機工作年限的增加逐漸降低，并且在任一時間節點滿足R完全相關>R失效相關>R相互獨立，即本文基于Copula理論計算出來的零部件和系統可靠度數值在失效相互獨立假設理論計算值和完全相關假設理論計算值之間。基于完全相關假設理論對主軸系統的可靠性評估偏高，提升機在作業中可能發生危險；基于失效相互獨立假設理論對主軸系統的可靠性評估偏低，過于保守浪費資源。根據現有提升機主軸系統設計參數和故障數據來看，基于混合Copula函數對主軸系統的可靠性評估符合實際情況。

4 結論

1)用Gamma過程來描述主軸系統中零件強度退化規律，能夠滿足強度退化具有隨機性和不可逆性的特征。利用混合Copula函數進行零件和系統的失效相關性建模，能夠準確描述整個主軸系統在失效相關情況下的動態可靠度變化規律。

2)該模型既能在設計初期對礦井提升機主軸系統的可靠性進行評估，又可以在服役期對礦井提升機主軸系統的剩余壽命進行估計。

3)本文提出的模型能夠靈活準確地描述主軸系統中的各種失效模式之間的關聯性，為多失效模式下提升機主軸系統及其他機械系統提供了一種有效的可靠性分析方法。