淺析帶電粒子在有界磁場中運動的時間極值問題

饒華東

摘? ?要：帶電粒子在三角形有界磁場中的運動常涉及最長（最短）運動時間的求解，這類問題難度較大，學生錯誤率高，特別是何時運動時間最短，很難確定。本文根據帶電粒子在磁場中的運動規律結合數學知識分析，提出了“半徑比較法”“弦切角比較法”“切線長比較法”三種判斷方法，可以快速確定粒子運動時間何時取到最小值。

關鍵詞：帶電粒子;三角形有界磁場;運動時間;極值

帶電粒子在有界磁場中的運動，通常不能做完整的圓周運動，解決此類問題必須借助空間想象思維、綜合數學知識，尤其是平面幾何中圓的有關知識[ 1 ]。有界磁場包括圓形磁場、矩形磁場、三角形磁場等類型，而粒子在有界磁場中運動的極值問題包括時間極值、速度極值、角度極值等，本文著重闡述帶電粒子在三角形有界磁場中運動的時間極值問題。

1? 半徑比較法

【例題1】如圖3（a）所示，直角三角形ABC區域內有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，在BC中點D處有一粒子源，可沿與AC平行的方向發射不同速率的同種粒子，粒子帶正電，電荷量為q，質量為m，已知這些粒子都從AC邊離開ABC區域，AC=3l，AB=4l，BC=5l，∠ABC=37°，忽略粒子的重力及粒子間的相互作用，則這些粒子（? ? ? ?）

2? 弦切角比較法

根據數學知識可知，過一點作圓的兩條切線，兩弦切角相等。

三角形ABC區域內存有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，在BC上的D處有一粒子源，可垂直AB向磁場內發射不同速率的同種粒子，粒子帶正電，電荷量為q，質量為m，已知這些粒子都從AC邊離開磁場，忽略粒子的重力及粒子間的相互作用。

如圖4（a）所示，若粒子速度最大時，軌跡與BC恰好相切于C點，從C點射出磁場，作初速度的延長線交BC與E，根據數學知識有∠ECD=∠EDC。反之，若∠ECD=∠EDC，說明軌跡與BC的切點恰好為C，此時運動時間最短。

如圖4（b）所示，若粒子速度最大時，軌跡與BC相切于F點（F點位于BC之間），從H點射出磁場。根據數學知識有∠EFD=∠EDF，顯然此時∠ECD<∠EDC。反之，若∠ECD<∠EFD，說明軌跡與BC的切點F應位于BC之間，粒子軌跡不可能經過C點，從H點射出時運動時間最短。

如圖4（c）所示，若粒子速度最大時，軌跡與BC“相切”于F點（F點位于BC延長線上，且在C點外側），根據數學知識有∠EFD=∠EDF，∠ECD>∠EDC。反之，若∠ECD>∠EDC，說明軌跡與BC的“切點”F應該位于BC延長線上，且在C點外側，當粒子速度繼續增大，有可能從C點射出，從C點射出時運動時間最短。

綜上分析，∠ECD≥∠EDC時，粒子從C點射出時運動時間最短，∠ECD<∠EDC時，粒子無法運動到C點，軌跡與BC相切時運動時間最短。

【例題2】如圖5（a）所示，直角三角形ABC區域內有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，在BC上的點D處有一粒子源，可沿與AC平行的方向發射不同速率的同種粒子，粒子帶正電，電荷量為q，質量為m， AC=3l，AB=4l，BC=5l，AD=3l，∠ABC=37°，忽略粒子的重力及粒子間的相互作用，則這些粒子（? ? ?）。

3? 切線長比較法

根據數學知識可知，過一點作圓的兩條切線，該點到兩切點的距離（本文將該距離稱作“切線長”）相等。

三角形ABC區域內存有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，在BC上的D處有一粒子源，可垂直AB向磁場內發射不同速率的同種粒子，粒子帶正電，電荷量為q，質量為m，已知這些粒子都從AC邊離開磁場，忽略粒子的重力及粒子間的相互作用。

如圖4（a）所示，若粒子速度最大時，軌跡與BC恰好相切于C點，從C點射出磁場，作初速度的延長線交BC與E，根據數學知識有EC=ED。反之，若EC=ED，說明軌跡與BC的切點恰好為C，此時運動時間最短。

如圖4（b）所示，若粒子速度最大時，軌跡與BC相切于F點（F點位于BC之間），從H點射出磁場。根據數學知識有EF=ED，ED

如圖4（c）所示，若粒子速度最大時，軌跡與BC“相切”于F點（F點位于BC延長線上，且在C點外側），根據數學知識有EF=ED，ED>EC。反之，若ED>EC，軌跡與BC的“切點”F應該位于BC延長線上，且在C點外側，當粒子速度繼續增大，有可能從C點射出，從C點射出時運動時間最短。

綜上分析，ED≥EC時，粒子從C點射出時運動時間最短，ED

參考文獻：

[1]李享文.帶電粒子在有界磁場中運動的極值[J].甘肅教育，2008（19）：58.