基于MATLAB數字圖像處理的線性代數教學探索

朱丹　于書靖　蘇洪波

【摘 要】線性代數教學中，發揮MATLAB數據可視化優勢，從數字圖像處理的角度闡釋矩陣的相關概念及運算，豐富教學案例，開展創新教學實踐。

【關鍵詞】線性代數;數字圖像處理;實驗教學;MATLAB

中圖分類號： O151.2-4;G642 文獻標識碼： A文章編號： 2095-2457（2019）31-0118-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.31.056

【Abstract】In linear algebra teaching，we interpret concepts of matrix and matrix manipulation from a digital image processing perspective with the help of advantage of MATLAB in data visualization. Teaching cases are enriched and invovative practice teaching is explored.

【Key words】Linear algebra;Digital image processing;Experimental teaching;MATLAB

1 利用MATLAB數據可視化，突出線性代數教學的直觀性和實用性

線性代數課程教學，在充分利用MATLAB軟件強大的數值計算功能的同時，還可充分挖掘其數據可視化功能，使之教學內容深度融合、完美契合。作為線性代數課程的一個主要研究對象——矩陣，其實質就是各種數據的匯總，而與矩陣相關的各種運算，本質上就是對其中數據的再加工再處理。以MATLAB數字圖像處理[1][2]為依托，使學生逐步明晰數字圖像與矩陣的對應關系，并從數字圖像處理的角度闡釋矩陣的運算，給抽象的數學理論賦予更直觀的形象，同時也豐富了應用背景，為學生提供了更多機會參與創新實踐。

2 MATLAB數字圖像處理在矩陣概念、矩陣運算教學中的應用案例

案例2.1? 從數字圖像的角度解讀矩陣，賦予矩陣以更直觀的形象

（1）0-1矩陣對應二值（黑白）圖像

MATLAB中以5階方陣為例，零矩陣‘zeros（5）、單位陣‘eye（5）以及隨機0-1矩陣‘randint（5）所對應圖像如圖1所示。

（a）零矩陣? ? ? ? ? ? ? ? ? （b）單位陣? ? ? ? ? （c）隨機0-1陣

圖1 0-1矩陣

在學生基本掌握了這種數與圖的對應關系后，教師進一步引導學生構造“口”、“日”、“田”等漢字所對應的數字矩陣。此外，通過布置“如何利用矩陣構造詞語‘中國、‘海軍、‘甲午……？”、“如何利用矩陣構造數字組合‘1894、‘7.25……？”等引申的課后上機練習題，拓展學生思維，促進知識的活學活用。

（2）值域為[0，1]的double型矩陣或值域為[0，255]的uint8型矩陣對應灰度圖像

仍以5階方陣為例，隨機[0，1]double型矩陣‘rand（5）、隨機[0，255]uint8型矩陣‘uint8（rand（5，5，[0，255]）對應圖2所示的灰色馬賽克圖案。

（a）[0，1]double陣? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （b） [0，255]uint8陣

圖2 [0，1]double隨機陣及[0，255]uint8隨機陣

（3）RGB彩色圖像是R、G、B矩陣的層疊

利用圖2中灰度圖像的構造方法，可以分別構造R、G、B三基色隨機陣，圖像分別對應圖3（a）、3（b）、3（c），再將三色矩陣拼合得到RGB矩陣，圖像為彩色馬賽克圖案，如圖3（d）所示。

（a）R矩陣? ? （b）G矩陣? ? （c）B矩陣? ?（d）RGB矩陣

圖3 R、G、B隨機陣及拼合成的RGB矩陣

依循這種層層遞進、由簡入繁的思路，學生在直觀上對矩陣的實用性有了初步的了解，感受到了數學的神奇力量，激發了學習熱情。

案例2.2 利用矩陣線性運算實現圖像隱藏

（a）隱藏前? ? ? ? ? ? ? ?（b）背景圖? ? ? ? ? ? ? ?（c）隱藏后

圖4 圖像隱藏

矩陣的加減、數乘是矩陣的兩種基本運算，MATLAB環境下可用于實現數字圖像信息的隱藏。

假定涉密圖片（圖4（a））和背景圖片（圖4（b））分別存儲于矩陣A、B中，利用矩陣的兩種線性運算構造矩陣C=A+t·（B-A），可將涉密圖片隱藏于背景圖片中。這里，t∈[0，1]為隱藏參數，用來控制隱藏深度。圖4（c）中設置t=0.5，為半隱半現狀態，若設置t=1，可實現圖像的完全隱藏，設置t=0，又可實現圖像的復原。課堂教學中，通過漸進調節參數t的取值由小變大，就可以將圖片隱藏的漸變過程展現在學生面前，增強了教學的生動性、實用性。

案例2.3（a）? 利用矩陣乘法實現圖像偽裝

矩陣運算中，矩陣乘法具有較為特殊的運算規律，是矩陣運算教學的一個難點。矩陣乘法又具有較強的應用性，因此其教學特別要突出以問題為主導，從問題中來，到問題中去。實際教學中，教師設置這樣一個問題情境：“一幅艦載機涉密圖片如圖5（a）所示，使用什么方法可對其實施偽裝？”由于前期教學已經做了鋪墊，學生憑直覺給出了幾個策略：打亂重排、打馬賽克、……。教師因勢利導，“馬賽克該如何打？”……在留給學生足夠的思考空間之后，教師引入正題，“我們來看看借助矩陣乘法能否做到吧！”利用涉及隨機矩陣的矩陣乘法AR=A'（A是圖5（a）對應矩陣，R是與A匹配的隨機矩陣，A'是新生成矩陣），圖5（a）經處理后得到圖5（b）。課堂上，學生通過前后圖像對比不難發現，矩陣乘法的運用使得原有圖像中的重要信息得到了屏蔽，偽裝效果明顯。學生從案例講解中，理解了矩陣乘法的本質就是對矩陣實施變換，運用到數字圖像處理中，可以實現圖像的置亂。

案例2.3（b）? 利用矩陣除法實現偽裝圖像復原

矩陣方程的求解涉及矩陣的除法運算。教師在引入矩陣除法時，可以從乘與除的相對關系出發，將案例2.3（a）中的問題進一步鋪開。“涉密圖像在傳輸過程中，發送方預先實施有效偽裝，而接收方就需要根據密鑰對收到的偽裝圖像（圖5（c））進行復原。如何復原呢？”根據偽裝過程AR=A'，利用矩陣除法A=A'/R可實現其逆過程，生成圖像如圖5（d）所示，與原始圖5（a）對照，實現了圖像的完好復原。

（a）偽裝前 ? ? ? （b）偽裝后 （c）復原前 ? ? ?（d）復原后

圖5 圖像偽裝及復原

3 結束語

以矩陣概念理論為突破口，以MATLAB數字圖像處理為媒介，對線性代數課程實驗化的教學模式進行了初步探索。教師采用理論傳授型實驗、綜合應用型實驗的教學方法，充分挖掘MATLAB圖像處理等工具箱的工程實踐功能，設計與線性代數課程理論密切相關的應用性實驗，以圖形等形式直觀展示實驗結果，一方面，使抽象的數學概念具體化、形象化、可視化，便于學生理解，另一方面，學生更多地參與到實驗活動中，逐漸轉變學習方式，變被動學習為自主探索，學習效率有效提升。此外，實驗內容的設計充分考慮學生的個體差異，區分難易層次，能夠使每個人潛能都得到有效激發。

【參考文獻】

[1]張德豐，等.MATLAB數字圖像處理[M].北京：機械工業出版社，2012.

[2]趙小川，等.MATLAB數字圖像處理實戰[M].北京：機械工業出版社，2013.