基于MATLAB的粗大誤差處理方法研究

陳瑋

北京理工大學珠海學院 廣東珠海 519088

在實驗過程中，會由于實驗方法、實驗人員等因素造成數據異常。該異常可能是由粗大誤差造成的。粗大誤差是指在測量過程中，偶爾產生的某些不應有的反常因素造成的測量數值超出正常測量誤差范圍的小概率誤差[1]。含有但不屬于異常值的粗大誤差的數據會干擾對實驗結果的分析，甚至歪曲實驗結果。若不剔除異常值，而把一些包含較大正常誤差但不屬于異常值的數據舍棄或保留一些包含較小粗大誤差的異常值，就會錯估了儀器的精確等級[1]。對于傳統的數據處理，當數據量比較大時，計算容易出現錯誤，而且結果不直觀。而MATLAB軟件以其強大的數據處理，簡潔的程序編程，很適合作為數據處理的輔助工具。將二者結合起來，傳統的數據處理只需很短的時間就可以判斷出是否含有粗大誤差。

1 基本原理及算法

萊以特準則適用測量次數較多的測量列，狄克松準則適用測量次數較少而要求較高的測量列。其中萊以特準則判別粗大誤差比較簡單，但當測量次數較多時，計算過程比較繁瑣；而狄克松準則是對測量列中的最小值和最大值同時進行判斷，因此一次就可以迅速判別是否含有粗大誤差。

1.1 程序流程圖

圖1 測量數據處理流程圖

1.1.1 找出含有粗大誤差的數值

首先假設粗大誤差的序號為1，然后比較每個測量值的殘差絕對值是否和最大的殘差絕對值相等，若相等，則第一個數據含有粗差，否則n加1，一共執行l次。其程序如下：

n=1

%找出粗大誤差值對應的序號

for i=1：l

if s(i)==max_

%比較殘差的絕對值和最大的殘差絕對值是否相等

break；

else

n=n+1；

end

1.1.2 剔除粗大誤差后的排序

qa是剔除一個粗差后剩余的數組x1的下標數值，pb是還沒剔除粗差的數組x的下標數值。程序如下：

qa=1；pb=1；

for i=1：l

if i==n

%若在賦值過程中遇到x中的粗差，則直接跳過

pb=pb+1；

else

x1(qa)=x(pb)；

%剩余測量列的數據

qa=qa+1； pb=pb+1；

end

……

1.2 粗大誤差的發現和剔除

1.2.1 萊以特準則

如果在測量列中有|vi|＞3σ則可認為該數據含有粗大誤差，應該進行剔除[1]。如圖1（2）所示，其主要程序為：

s=abs(v)； %對殘差求絕對值

max_=max(s)；

%求殘差絕對值中的最大值

if max_＞3＊q

%萊以特準則

while (max_＞3＊q)

sprintf('第 %d 次剔除誤差： ',j)

n=1 ；

%找出粗大誤差值對應的列號

for i=1：l

if s(i)==max_

break；

else

n=n+1；

end

……

第一次粗差發現和剔除后，對剩余測量列要重新進行標準差的計算來完成新一輪粗差的判別，依次循環，直到|vi|＞3σ測量列再無粗差為止。

1.2.2 狄克松準則

狄克松準則先要對測量列的數值按照大小順序排序，小數值在前，大數值在后；然后根據統計量rij和臨界值r0的關系，同時完成重新排序后的測量列兩端數值粗差的發現與剔除；剔除粗差后，根據測量次數的多少，重新選擇統計量rij，再次和臨界值r0進行比較。

表1 狄克松準則的統計量

通過選擇α顯著度，可以得到各統計量的臨界值r0(n，α)，當測量的統計值rij大于臨界值，就可以相信X(1)或X(n)含有粗大誤差的[1]。

如圖1（3）所示，其主要程序為：

xn=sort(x)；

%對測量數據進行排序

l=length(xn)；

r1=(xn(l)-xn(l-2))/(xn(l)-xn(3))；

%計算最大值

r2=(xn(1)-xn(3))/(xn(1)-xn(l-2))；

%計算最小值

r0=dks(l-2)；

dks_f1=1；

% 最大值無誤差；

dks_f2=1；

% 最小值無誤差；

if r1＞r0

dks_f1=0；

表2 MA T L A B運行結果

% 最大值有誤差；

elseif r2＞r0

dks_f2=0；

% 最小值有誤差；

else

disp('該測量列不存在粗大誤差')

end

……

2 運行結果

以《誤差理論與數據處理》的數據為例：

對某量進行15次測量，測得數據為28.53 28.52 28.50 29.52 28.53 28.53 28.50 28.49 28.49 28.51 28.53 28.52 28.49 28.40 28.50，如果這些測得值已消除系統誤差，判別是否含有粗大誤差？[1]

測量列中數據存在一個粗大誤差的條件下，萊以特準則是最為簡單方便的。而當測量列中數據存在多個粗大誤差的條件下，由于萊以特準則每次只能發現一個粗差，剔除完還要按照原有流程再發現，再剔除，導致計算過程繁瑣；而狄克松準則雖然多了個排序，但由于是對數據中的最值同時進行判斷，其處理過程還是比萊以特準則快得多。

3 結語

本文根據粗大誤差的特點，以萊以特和狄克松準則為例，用MATLAB軟件設計了處理粗大誤差的算法。該算法簡單易行，結果顯示明確，能形象直觀的給出處理的結果。