關于農業投入產出的線性回歸模型

張煜

[摘 要]本文采用柯布——道格拉斯生產函數對農業的投入產出即糧食產量問題進行了線性分析，運用普通最小二乘法對糧食產量及其影響因素進行了顯著性分析，最終得出結論：糧食播種面積、有效灌溉面積和農用排灌柴油機使用數量對中國糧食產量有影響，其中糧食播種面積是影響糧食產量的主要因素。為提高糧食產量，可以適當地擴大糧食耕種面積，同時增加有效灌溉面積和農用排灌柴油機的使用量。

[關鍵詞]糧食產量;影響因素;線性回歸

[中圖分類號]F326.11 [文獻標識碼]A

1 問題背景

糧食是國家的根本，是經濟社會發展的基礎，糧食安全關系到一個國家的命脈。2003-2015 年，我國糧食實現十二連增，由2003年的43069.5萬噸增長到2015年的62143.9萬噸，增長率達到 44.29%，這體現出我國糧食產量的整體提升。然而，隨著我國城鎮化和工業化的推進，一方面，飼料糧和工業糧需求明顯增加，糧食供給壓力不斷加大;另一方面糧食生產受到耕地、水資源等一系列約束日益顯著，糧食生產要素及政策環境等的變化也對我國糧食安全形成潛在風險。為穩定糧食產量，許多學者對影響投入產出即糧食產量的影響因素進行了研究，首先是農業資本中的流動資本例如化肥的使用量、有效灌溉量、農藥用量、塑料薄膜的使用量等會對糧食的產量有一定的影響，其次是農業資本中的固定資本例如機器設備（拖拉機、播種機等）、土地……最后還有人力資本的影響。所謂的人力資本即體現在人身上的資本，即對生產者進行普通教育、職業培訓等支出和其在接受教育的機會成本等價值在生產者身上的凝結，它表現在蘊含于人身中的各種生產知識、勞動與管理技能和健康素質的存量總和，這一部分資本也會在一定的基礎上增加糧食的產量。

2 問題分析

本題給出了中國31個省、市、自治區糧食生產的相關數據，并列舉出影響產量一部分因素，要求根據這些數據建立2013年中國糧食生產函數模型。

用于分析投入產出關系的生產模型主要有四種： 柯布—道格拉斯生產函數（ C-D生產函數） 、超越生產函數、超越對數生產函數和斯皮爾曼生產函數。本文擬用柯布——道格拉斯生產函數。其基本形式如下：

式中 Y 為產出，K 代表投入資本，L 表示投入勞動，A 為生產效率系數，α、β 分別表示資本與勞動的產出彈性。

3 模型的建立

將柯布——道格拉斯生產函數運用于糧食生產模型中，為了簡便運算，我們將其轉化為線性關系：In（Y）=a+b1In（X1）+b2In（X2）+b3In（X3）+b4In（X4）+b5In（X5）+b6In（X6）+u其中Y代表了糧食產量，a表示常數項，b1～b6代表各變量之前的系數，u表示擾動項，X1代表糧食播種面積，X2代表有效灌溉面積，X3代表化肥施用量，X4代表大型拖拉機的數量，X5代表小型拖拉機的數量，X6代表農用排灌柴油機的數量。

4 模型求解

首先，我們需要對Y與各變量之間的關系是否顯著進行判斷，我們采用普通最小二乘法對給出的數據進行處理可得：

R2為0.98接近于1，F值262.32遠遠大于F0.05（6，24）故認為糧食產量與上述解釋變量間總體線性關系顯著。但由于上述結果中，X3、X4、X5、X6前的系數沒有通過顯著性水平為5%的t檢驗，并且X5之前系數為負，說明隨著小型拖拉機使用數量的增多，糧食產量呈下降趨勢，這與實際不符，其參數經濟意義不合理，故判定解釋變量間存在多重共線性。

為求出更合理的生產模型，現采用逐步回歸，將解釋變量分別導入初始回歸模型，運用普通最小二乘法對結果進行分析可得：

只引入X1，我們可以發現，R2值約為0.98較大，且通過顯著性水平為5%的t檢驗，系數也較大，說明糧食生產受糧食播種面積的影響較大，與經驗相符合。

再引入X2，我們可以發現，模型的可調整R2提高，且通過了顯著性水平為5%的t檢驗，參數符號合理。

再引入X3，我們依舊可以發現，模型的可調整性R2有所下降，雖然參數符號合理，但未通過顯著性水平為10%的t檢驗，所以去掉X3。

去掉X3引入X4，我們發現模型的可調整性R2比起引入X1、X2有所下降，且未通過顯著性水平為10%的t檢驗，參數為負說明隨著大型拖拉機使用數量的增多，糧食產量呈下降趨勢，與實際不符，參數經濟意義不合理，故去掉X4.去掉X4引入X5，我們發現模型的可調整R2提高，且未通過顯著性水平為10%的t檢驗，參數為負說明隨著小型拖拉機使用數量的增多，糧食產量呈下降趨勢，與實際不符，參數經濟意義不合理，故去掉X5。

去掉X5引入X6，模型的可調整性R2比起引入X1、X2有所提高，且通過顯著性水平為10%的t檢驗，參數符號與經濟意義相符合。

由此可得，最終的糧食生產函數應以Y=f（X1，X2，X6）為最優，即糧食產量與糧食播種面積、有效灌溉面積、農用排灌柴油機之間存在線性關系，擬合結果如下：

Ln（Y）=-0.734+0.761ln（X1）+0.231ln（X2）+0.05ln（X6）

各變量前參數的經濟意義如下：

-0.734表示在沒有其他任何因素的投入下，緊靠大自然的能力，所能得到的糧食產量。

0.761表示糧食播種面積每增加一千公頃，糧食產量增加0.761萬噸。

0.231表示有效灌溉面積每增加一千公頃，糧食產量增加0.231萬噸。

0.05表示農用排灌柴油機每增加一千臺，糧食產量增加0.05萬噸。

5 以山東省為例說明

根據山東省統計局年度數據，可以得到：山東省2015年糧食播種面積為7492100公頃，糧食產量為47127000噸;山東省2015年有效灌溉面積為5126780公頃;山東省2015年農用排灌柴油機為523000套。

根據得到的數據，我們發現山東省與糧食產量大省黑龍江之間存在一定的差距，糧食產量相差1500萬噸左右，黑龍江省的糧食播種面積約為山東省的1.5倍，有效灌溉面積大致相當，山東省的農用排灌柴油機格外強大，約為黑龍江省的10倍。根據得出的農業生產模型，我們可以得知，決定糧食產量的關鍵因素為糧食播種面積，黑龍江省占據很大的優勢，其次為有效灌溉面積占比較多，但是農用排灌柴油機占比極小，山東省占據很小優勢，由此黑龍江省的糧食產量高于山東省。

為改變這種現狀，首先，山東省可以增加耕地面積，但這種方式的可行度較小，不同于黑龍江省耕地總量2.39億畝，居全國第一位;人均耕地面積0.31公頃，為全國人均耕地面積的3.1倍，山東省的耕地面積有限，不可能用填海造地的方式來增加耕地面積;其次，在耕地面積一定的情況下，可以適當地減少農用排灌柴油機的使用量，節約資金。

6 針對山東省的政策建議

（1）在影響糧食產量的因素中，糧食種植面積的影響作用最大。因此，穩定糧食種植面積是保證糧食安全的關鍵因素。一方面政府要做好城鄉土地利用規劃，嚴格控制各類非農建設用地，在工業化、城鎮化建設過程中，盡量少占、少用耕地。同時，應調整、優化耕地利用結構，進一步提高土地集約利用水平。另一方面要保護地力，持續改造中低產田，保證土地的可持續使用，并且要以提高糧食綜合生產能力為目標，繼續重視和加強農田水利設施建設;在國家實施的糧食高產創建項目中，加強農業機械與農藝結合，進一步強化標準化農業節水節肥高產示范區規范化農田建設，帶動中低產田實現高產高效，保證糧食旱澇保收，保障國家糧食安全。

（2）增加有效灌溉面積。由上面的分析我們知道，有效灌溉面積對糧食產量有著非常重要的影響，我省臨海，水資源豐富，自然降雨量較好，更應該有效地利用水資源，增加灌溉面積。

（3）加大農用排灌柴油機等農業機械總動力的研制與更新。通過分析發現，只有在 1978—1987 年這一時期，農業機械總動力對糧食產量的貢獻達到顯著性水平，其他時期農業機械總動力的增加對糧食增產的作用并不是很顯著。究其原因可能是在農業機械研發過程中，并沒有與農業生產做到完全對接; 另外，使用農業機械的主要目的是替代人力，所以對于糧食產量增加的貢獻度并不十分明顯。因此，要進一步增加農業機械方面的研發投入，加快研制和推廣符合農藝要求且可以提高勞動生產率和土地產出率的新型農業機械。

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