從藝術到數學

王菲菲　王芳

【題記】對稱是一種思想，人們畢生追求，并創造次序、美麗和完善。

——赫爾曼·外爾

在自然科學和數學中，對稱意味著某種變換下的不變性，即“組元的構形在其自同構變換群作用下所具有的不變性”，通常的形式有鏡像對稱（或者叫左右對稱、側對稱）、平移對稱、轉動對稱和伸縮對稱等。

人們在創作藝術作品時通常會從對稱角度考慮。對稱性蘊含在許多事例中，它從簡單到復雜的表現形式，是大自然形式的基礎。初步掌握對稱的奧妙，不僅可以幫助我們發現一些圖形的本質特征，還可以使我們感受到自然界的和諧之美。赫爾曼·外爾在《對稱》一書中，從藝術品中的對稱性出發，介紹了雙側對稱性、平移對稱性、旋轉對稱性、裝飾對稱性、晶體對稱性等幾何概念，逐步深入，最后上升到作為所有這些特殊形式基礎的普遍的抽象數學思想。

不過，有的人卻認為重復的圖案會顯得單調無趣。英國數學家羅杰·彭羅斯是一位大膽而充滿豪情的學者，他對單一的圖形和重復不那么感興趣，而對無窮的變化興趣盎然。他想要的是能以永不重復的方式鋪滿無窮平面，也就是說用若干圖形拼合在一起，永遠不會出現重復的圖案。

彭羅斯貼磚最有名的一套稱為“風箏”與“飛鏢”（圖1）。兩者都能干凈利落地由對稱軸一分為二，它們的表面繪有兩條簡單、對稱的弧線。彭羅斯制定了一條平鋪規則：“合法”的拼貼必須能使弧線對接，連成連續的曲線。在這條規則之下，圖案永遠都不會出現重復。風箏和飛鏢，永恒地舞動在五條對稱軸周圍，組合出滿天星、十邊形，蜿蜒的長線則繪成蝴蝶與花朵的形狀。形態似是而非，蘊藏無窮變化。這樣利用對稱圖形構造出來的圖案向人們展示了不同尋常的和諧美。

（作者單位：江蘇省海安市城南實驗中學）