復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則教學(xué)方法探討

胡效華

（北京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 北京 100070）

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中重要一環(huán)，它的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則即是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算學(xué)習(xí)的重點(diǎn).也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

在七年制高職學(xué)生的微積分學(xué)習(xí)過(guò)程中，針對(duì)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則教學(xué)中應(yīng)把握以下幾點(diǎn)：

一、牢記基本初等函數(shù)及其求導(dǎo)公式

二、能正確分解復(fù)合函數(shù)，分清中間變量與自變量

一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=g（x） ，如果通過(guò)變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g（x）的復(fù)合函數(shù)，記作y=f(g(x)),其中u叫做中間變量。

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，關(guān)鍵在于能夠正確分解復(fù)合函數(shù)。這就要求學(xué)生能夠理清函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)，由外及里，一層一層的分解函數(shù)。教學(xué)過(guò)程中，可以指導(dǎo)學(xué)生這樣看待復(fù)合函數(shù)，即注意等號(hào)右端的小括號(hào)，將小括號(hào)看作中間變量，沒(méi)有小括號(hào)的，需要自己判斷并補(bǔ)出小括號(hào)[1]。復(fù)合函數(shù)是否分解正確，所分解出的函數(shù)應(yīng)是基本初等函數(shù)或者基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算得到的函數(shù)。要做到不漏、不重。簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)常見(jiàn)題型如下表。

?

三、記住復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式

復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u)和u=g(x))的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為 ，即yx′=yu′·ux′對(duì)y的x導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式做題，第一步分解復(fù)合函數(shù)，第二步計(jì)算yu′與ux′，第三步計(jì)算yx′=yu′·ux′并還原u。從解題步驟可以看出，分解復(fù)合函數(shù)是關(guān)鍵，導(dǎo)數(shù)基本公式是基礎(chǔ)，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則是應(yīng)用[2]。

對(duì)于前邊給出的復(fù)合函數(shù)，其求導(dǎo)過(guò)程如下表（適合于常見(jiàn)的簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)題型）：

?

有的時(shí)候，我們會(huì)遇到由三個(gè)或三個(gè)以上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，此時(shí)應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，就要像剝洋蔥似的，由外及里，一層一層“剝皮”，將函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的形式，再逐層求導(dǎo)、求各導(dǎo)數(shù)的乘積，還原中間變量，得到結(jié)果。

舉例如下：

求y=1n[sin(x-1)]的導(dǎo)數(shù)。

解1，設(shè)y=1nu,u=sinv,v=x-1

比如，求y=(2x-3)3的導(dǎo)數(shù)。

解：y′=3(2x-3)2.(2x-3)′=3(2x-3)2.2=6(2x-3)2′.

求y=1n[sin(x-1)]的導(dǎo)數(shù)也可以這樣解：

此種方法，不設(shè)中間變量，而是用“心算”方法完成求導(dǎo)過(guò)程，要達(dá)到這樣心算的程度，需要熟練掌握基本求導(dǎo)方法，方能形成求導(dǎo)的速度與技巧。