核心素養下中學數學運算能力的維度及培養策略

王克勤 彭俊英 歐濤燕

數學核心素養是數學課程目標的集中體現，高中數學核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析。筆者在抽測中發現：學生懂而不會，會而不對，對而不全，全而不優的現象普遍存在。大量學生感到數學不好玩。其原因主要是教師在把握核心素養、理解數學、理解學生、理解教學上不用功，學生在理解數學運算上不到位。基于此，本文著重探討核心素養下數學運算能力的維度與培養策略。

一、數學運算能力的維度

運算能力是運用有關法則進行簡捷運算、嚴謹推理的能力。人的運動能力包括靈敏性、協調性、耐力、爆發力等幾個維度，那么，運算能力包含哪些維度呢？從認知心理學看，運算能力外顯四個層面：運算的準確性、靈活性、簡捷性、思辨性;從數學教學論看，運算能力內含明晰運算對象、掌握運算法則、確定運算程式、優化運算策略四個維度。

1.明晰運算對象

運算教學存在如下誤區：忽視運算能力的內含維度，片面追求運算能力的外顯表象;忽視對運算對象的認識理解，強化運算法則的記憶套用。以致準確運算的基本要求都難以企及，最終導致學生對數學學習興趣的全面崩潰。

2.掌握運算法則

題從法取，法將題驗。運算法則猶如民法通則，某一運算法則就是這類運算的基本大法，具有嚴格的“法理性”。關鍵在理解法則的內涵，明確法則的邊界，掌握法則的算理和功能。

3.確定運算程式

確定運算程式，就是確定運算的方向、方式、方法。它是運算法則與運算對象的智能結合。學生在運算過程中常常書寫混亂，邏輯不嚴，步驟不清，往往就是因為還沒有確定運算程式。

4.優化運算策略

能算還必須會算，還需利用運算的思辨性尋求運算的最佳策略。如求1/2+1/3+2/3+1/4+2/4+3/4…1/50+2/50…48/50+49/50的值。按同分母分組，該式各組數分別成等差數列，項數從1到49，利用等和性，每組數的前后項結合可以湊整，但奇數組余一項不能完全湊整，怎么辦？問題的關鍵在于整體倒序變形，局部相加湊整。對一般的等差數列，也符合這一算理，由此產生了等差數列求和的關鍵方法：倒序相加法。

二、數學運算的基本原則

1.運算的目標性原則

每步運算要解決什么問題，必須要有明確的目標性。沒有目標的運算就如無頭蒼蠅，運算的目標性是運算的原動力和指揮棒。培養學生運算的目標性，就是培養學生優化選擇方法或途徑的能力。

2.運算的求簡性原則

運算求解的過程是一個從已知到未知、由繁至簡的過程。教學中要引導學生自覺圍繞這個原則展開思維，尋找思路，辨別方向。

3.運算的推理性原則

運算不只是單純的依據法則機械操作，運算操作代替不了運算思維。運算中更有推理，推理可以更好地幫助運算，拋棄推理的運算是死算。

4.運算的反思性原則

解題如同走進一間黑暗陌生的房間，反思，就像突然打開了電燈，這時一切都清楚了：哪幾步走錯了，哪幾步不必要。當學生的體驗在頭腦中還是新鮮的時候，反思有利于探究他剛才克服困難的實質：關鍵在哪？主要困難在哪？應該從什么角度思考？因此，運算教學要留出時間和空間讓他們反思。

三、數學運算能力的培養策略

培養運算能力，不能僅專注于運算的準確性、靈活性、簡捷性、思辨性等運算能力的外顯層次，更應立足核心素養，從學生運算能力的根本維度上培養。

1.培養學生全面認知運算對象的能力，提高運算的準確性

運算對象主要有數表、圖表、圖形、圖像、數與式、框圖、符號等。針對不同的運算對象，一是準確辨別運算類型;二是準確認知各量間的關系;三是準確認知運算的隱性條件;四是準確認知運算對象間的邏輯聯系。

2.培養學生全面理解運算法則的能力，提高運算的靈活性

中學階段主要的運算有：集合運算，整式、分式、根式、指對數、復數運算，三角向量運算，導數積分，排列組合與概率統計，長度、面積、體積、角度、弧度運算等，各種運算都有其獨特的法則。全面理解運算法則，一是理解法則的產生過程;二是明確法則的適用對象和范圍;三是熟悉法則的運算律，四是理解運算的數形關系。

3.培養學生變式轉化運用公式定理的能力，提高運算的簡捷性

公式定理是思路的索引，是思維的紐帶。理解公式定理，一是理解其發生發展過程;二是明確其對象和范圍;三是理解其性質和推廣;四是熟悉其逆用和變式。

4.培養學生優化選擇運算方式方向的能力，提高運算的思辨性

數學的思辨性，緣于抽象性、系統性、邏輯性。運算教學中，一要暴露運算思維過程，培養學生運算抉擇能力。尤其是在運算公式的分擇處、在運算方法的轉換處，教師往往說不清道不明，直奔結果，導致學生似懂非懂，貽誤能力。二要把運算教活，要借助特值法、特形法、列舉法、數形法、圖表法、整體代換法、換元法等，提高學生運算思辨性。

總之，教師要細心研究并明確運算能力的這四個維度，立足四個運算原則，合理有效利用策略，才能從根本上培養學生的運算能力，形成良好的運算思維。

【本文系重慶市教育科學“十二五”規劃重點課題《利用教育質量監測數據增進區域教研實效性策略研究》的研究成果之一，課題批準號：2014-11-001，課題負責人：王克勤?！?/p>

（作者單位：重慶市渝北區教師進修學院;西南大學銀翔實驗中學;重慶市松樹橋中學）