α 混合樣本下積分權(quán)回歸估計的強相合性

楊秀桃, 楊善朝

(1.海口經(jīng)濟(jì)學(xué)院網(wǎng)絡(luò)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)教研室, 海南海口 571127)

(2.廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院應(yīng)用統(tǒng)計教研室, 廣西桂林 541004)

1 引言

設(shè)N 為自然數(shù)集, {Xi;i∈N} 是概率空間(?,A,P) 上的隨機變量序列.

定義1.1對隨機變量序列{Xn;n≥1}, 如果當(dāng)n→∞時,

其中σ域則稱{Xn;n≥1} 是α混合的.

設(shè)Y1,Y2,··· ,Yn是固定點x1,x2,··· ,xn的n個觀察值, 適合回歸模型

其中回歸函數(shù)g(x) 是[0,1]上的未知函數(shù), 且當(dāng)x[0,1]時, 令g(x)=0, {εi} 是隨機誤差序列.

假定0=x0≤x1≤···≤xn?1≤xn=1.考慮Gasser 和Mller[1]對回歸函數(shù)g(x) 提出的一種積分權(quán)核估計

其中核函數(shù)K(u) 是R1上可測函數(shù), 且當(dāng)n→∞時, 0

α混合序列是一類重要的非獨立序列, 引起了諸多學(xué)者的關(guān)注.在α混合序列下, 文獻(xiàn)[2]研究了回歸加權(quán)核估計的強大數(shù)律; 文獻(xiàn)[3]研究了一般回歸加權(quán)函數(shù)估計的一致漸近正態(tài)性; 文獻(xiàn)[4]研究了核型分位數(shù)估計的漸近正態(tài)性; 文獻(xiàn)[5]討論了風(fēng)險度量ES 非參數(shù)估計部分和的漸近正態(tài)性; 文獻(xiàn)[6]討論了回歸加權(quán)核估計的強相合性.討論研究該混合序列背景下的非參數(shù)估計的大樣本極限性質(zhì)可更好地為進(jìn)一步的實證研究提供理論基礎(chǔ).不少文獻(xiàn)(如[7–15]) 討論了在獨立情形與混合相依情形下Priestley-Chao 加權(quán)核回歸估計的完全收斂性和強相合性, 獲得了很好的結(jié)果.早期, 對于文獻(xiàn)[1]中Gasser 和Mller 提出的一種積分權(quán)核估計(1.2), 文獻(xiàn)[16–18]研究了獨立序列情形下估計(1.2) 的完全收斂性、漸近正態(tài)性等大樣本性質(zhì).另外, 文獻(xiàn)[19–21]給出了研究α混合隨機變量序列大樣本性質(zhì)所需的部分和、加權(quán)和的不等式工具.較少文獻(xiàn)在α混合序列背景下研究估計(1.2) 的大樣本極限性質(zhì).本文則在α混合樣本下給出回歸函數(shù)核估計(1.2) 的強相合性與一致強相合性結(jié)論.利用文獻(xiàn)[21]的指數(shù)不等式, 在較弱的條件下, 本文得到較理想的收斂結(jié)論.由于在α混合樣本下研究具體的統(tǒng)計估計問題還是比較少, 因此本文的研究是有意義的.

(b)g(·) 在[0,1]上一致連續(xù);

(c) 當(dāng)n→∞時,hn→0,δn→0.

定理1.2設(shè)基本條件(a)–(c) 成立.又假設(shè)(i)Eεi=0,i=1,2,··· ,n, 且|εi|≤ba.s.;(ii) {εi} 為α混合相依, 且α(n)=O(n?λ), 其中λ>1; (iii) 當(dāng)n→∞時,

(1) 若

(2) 若存在d>0 使得ndhn→∞以及

則對任給的0<τ<1/2, 都有

注定理1.2 給出了α混合相依序列有界情形下, 估計(1.2) 的強相合與一致強相合性.

下面的定理1.3 是在該序列無界條件下得到該估計的強相合與一致強相合性.

定理1.3設(shè)基本條件(a)–(c) 成立.又假設(shè)(i)Eεi=0,i=1,2,··· ,n, 且∞, 其中r> 2; (ii) {εi} 為α混合相依, 且α(n)=O(n?λ), 其中λ>r/(r?2); (iii) 當(dāng)n→∞時,

(1) 若

(2) 若存在d>0 使得ndhn→∞以及

則對任給的0<τ<1/2, 有

2 引理

為了證明定理的結(jié)論, 本節(jié)給出一些引理.

引理2.1[19]若{Xi;i≥1} 是零均值的α混合隨機變量序列, 且{ai;i≥1} 是實數(shù)列.

(i) 如果E|Xi|2+δ<∞, 這里δ>0, 則

(ii) 如果|Xi|

引理2.2[21]令{Xi;i≥1} 是零均值的α混合隨機變量序列, 且|Xi|≤b< ∞a.s., 進(jìn)一步假定正整數(shù)kn滿足1≤kn≤n/2.則對任意的>0, 有

引理2.3設(shè)g(x) 在[0,1]上一致連續(xù),如果hn→0 和δn→0, 則

對任給的0<τ<1/2, 有

證由(1.1) 和(1.2) 式, 有

從而

要證明(2.4) 式, 只需分別證明: 對x∈(0,1),In1(x) →0 和In2(x) →0.記B1=由g(·) 在[0,1]上一致連續(xù)知,?ε>0, 當(dāng)n充分大時, 有

所以In1(x)→0.另一方面, 由條件有

當(dāng)n充分大時, 由條件知

注意到g(x) 在[0,1]上有界, 記取δ>0, 可有

由g(x) 在x處連續(xù)以及知,?ε>0, 當(dāng)n充分大時, 有

即

由(2.9), (2.10) 和(2.13) 式知,In2(x) →0.從而(2.4) 式成立.由于g(x) 有界, 所以上述證明過程對(2.5) 式也成立.證畢.

引理2.4設(shè)且hn→0, 則對任意的x∈(0,1), 有

而對任給的0<τ<1/2, 有

證對任意的x∈(0,1), 令顯然

和

聯(lián)合(2.16)–(2.18) 式得結(jié)論(2.14).另外, 對任給的0<τ<1/2, 有

和

由(2.16), (2.19) 和(2.20) 式得結(jié)論(2.15).證畢.

引理2.5[14]設(shè){Zi;i≥1}是隨機變量序列,若存在常數(shù)ρ>0,使得E|Zi|=O(i?(1+ρ)),則收斂.

3 定理的證明

由于

由(3.2) 式、引理2.3 以及Borel-Cantelli 引理可知, 定理1.2 與定理1.3 的證明歸結(jié)為證明如下式子

與

又由引理2.4 及條件(a), 當(dāng)n→∞時, 可有

定理1.2 的證明首先證明(3.3) 式.記Xi=Wni(x)εi, 由條件(i) 及(3.1) 式, 有EXi=0, 且有由于α(n)=O(n?λ) 且λ> 1, 所以在引理2.1 中的根據(jù)引理2.1 的(2.2) 式可得

又根據(jù)(3.1)、(3.5) 以及(1.3) 式, 可有

取kn=ns/(lognlog logn), 其中00,x∈(0,1), 可有

由(1.4) 式知, (3.3) 式成立.

其次證明(3.4)式.選取ln個中心在t1,t2,··· ,tln,半徑為的鄰域覆蓋[0,1], 其中由條件(i) 知和基本條件(a) 知K(·) 滿足β階Lipschitz 條件, 對正整數(shù)k,1≤k≤ln, 可得

由(1.5) 式知, (3.4) 式成立.

定理1.3 的證明令

則有

與

記Vi=Wni(x)ξi, 顯然有EVi=0, 且由條件(3.1) 式有Cn?s+1/r.現(xiàn)在對序列V1,V2,···, 利用引理2.2, 為此令由于α(n)=O(n?λ) 且λ>r/(r?2), 所以在引理2.1 中的

根據(jù)引理2.1 的(2.1) 式可得

又根據(jù)(3.1)、(3.5) 以及(1.6) 式, 可有

由(1.7) 式知, (3.8) 式成立.

結(jié)合條件(1.8) 知, (3.9) 式成立.

與

由(1.6) 與(3.1) 式, 可得

因此(3.3) 與(3.4) 式成立, 定理1.3 得證.