Burgers-KPP 方程的新精確解

2019-11-23 06:22:16王鑫

數(shù)學(xué)雜志 2019年6期

王鑫

(海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院, 海南海口570228)

1 引言

尋求非線性偏微分方程的精確解一直是解決和研究非線性問題的關(guān)鍵.近年來, 精確解的求法不斷涌現(xiàn), 如Backlund 變換法、Hirota 變換法、變量分離法、反散射變換法等.最近,王明亮等提出的(G) 展開法[1?3], 即假設(shè)非線性偏微分方程的行波解可用() 的多項(xiàng)式來表示, 且G滿足一類二階線性常微分方程, 由此得到一個(gè)代數(shù)方程組, 將求解微分方程的問題轉(zhuǎn)化為求此代數(shù)方程組的解.此方法不需要任何初始或邊界條件, 可以簡(jiǎn)潔、有效地求解非線性偏微分方程.目前, 在此方法的基礎(chǔ)上, 出現(xiàn)了許多擴(kuò)展和改進(jìn), 這些改進(jìn)主要是從將(G) 展開法的正冪展開推廣到正負(fù)冪展開[4]; 改變(G) 的展開形式[5?7]; 改變函數(shù)G滿足的方程[8?10]等方面進(jìn)行了延伸.本文也是以(G) 展開法的基本思想為依據(jù),是將其展開形式改進(jìn)為的形式, 并首次嘗試將函數(shù)G滿足的常系數(shù)方程改進(jìn)為一類二階變系數(shù)的非線性方程, 以Burgers-KPP 方程為例進(jìn)行了求解, 得到了該方程的多個(gè)顯式行波解.

Burgers-Kolmogorov-Petrovskii-Piscounov 方程

其中α,β,λ,γ,δ均為常數(shù).該類方程是既包含耗散作用又包含頻散作用的非線性演化方程,它廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)、理論物理等領(lǐng)域.當(dāng)(α,β,λ,γ,δ) 取不同參數(shù)時(shí), 它囊括著許多著名的方程.例如廣義KPP 方程, Huxley 方程, 廣義Fisher 方程, Burgers-Fisher 方程, Fitzhugh-Nagumo 方程, Newell-Whitehead 方程等.文獻(xiàn)[11]用Cole-Hopf 變換法得到了該方程的孤子解, 并對(duì)解的漸進(jìn)性質(zhì)進(jìn)行了論證; 通過tanh 函數(shù)展開法, 該方程的單孤波解和周期波解由文獻(xiàn)[12]得到; 文獻(xiàn)[13]通過變系數(shù)輔助方程并結(jié)合齊次平衡法得到了該方程的行波解.

2 滿足變系數(shù)方程的G 展開法

將非線性偏微分方程

作行波變換.令u(x,t)=u(ξ) ,ξ=x?ct, 其中c表示波速, 是一常數(shù), 則方程(2.1) 化為

設(shè)方程(2.1) 的解為

這里ai(ξ) (i=0,1,2,··· ,l) 為待定的函數(shù), 參數(shù)l可通過齊次平衡法確定,G=G(ξ) 滿足一類二階變系數(shù)非線性常微分方程

其中p(ξ),q(ξ) 均為ξ的任意函數(shù).通過借助Mathematica 符號(hào)計(jì)算軟件, 可以得到方程(2.4) 的解

其中C1,C2為積分常數(shù), 同時(shí)可得

將(2.3) 式代入(2.2) 式, 并結(jié)合(2.4) 式, 合并的各同冪次項(xiàng), 并令的各次冪的系數(shù)為零, 從中求出ai(ξ),p(ξ),q(ξ), 再將求得的p(ξ),q(ξ) 代入(2.5) 式, 最后將得到的函數(shù)及ai(ξ) 代回到(2.3) 式, 即得到方程(2.1) 的解.