EP 元的一些新刻畫

史麗妍,馬麗,魏俊潮

(揚州大學數學科學學院,江蘇揚州225002)

1 引言

本文所涉及的環均表示有單位元的結合環.設R是一個環,a∈R, 若存在c∈R, 使得

則稱a為R的群可逆元[1], 且稱c為a的群逆元.由文獻[2]知, 群可逆元a的群逆元是唯一確定的, 通常記為a#.本文用R#表示環R的全體群可逆元的集合.

設R為一個環,?為環R到R的一個雙射, 滿足條件(a?)?=a; (a+b)?=a?+b?;(ab)?=b?a?, 其中a,b∈R, 則稱R為一個對合環, 有時也簡稱R為?-環[3].

設a∈R, 若存在x∈R, 滿足a=axa;x=xax; (ax)?=ax; (xa)?=xa, 則稱a為Moore Penrose 可逆元, 簡稱a為MP 可逆元,x稱為a的MP 逆元.由文獻[4]知, MP 可逆元a的MP 逆元是唯一確定的, 記為a?.用R?表示?-環R的全體MP 可逆元的集合.

設R為?-環, 若a∈R#∩R?且a?=a#, 則稱a為R的EP 元[5].用REP表示R的全體EP 元的集合.EP 元的研究起源于矩陣廣義逆與算子廣義逆, 最早可追溯到對EP 矩陣[6]的研究.對EP 矩陣的刻畫還可參見文獻[7 ?11].本文主要從純環論的角度研究EP 元,通過構造幾個特定的方程, 研究其解與結合?-環上一個core 可逆元成為EP 元的等價條件,這是環論上研究EP 元的一種新型的方法.

2 主要結果

引理1[12]設a∈R#∩R?, 則

(1)Ra=Ra2=Ra#=Ra?a=Ra?a=Ra#a;

(2)aR=a2R=a#R=aa?R=aa?R;

(3)Ra?=Ra?=R(a?)2=Raa?;

(4)a?R=a?R=(a?)2R=a?aR.

若a∈R#∩R?且aa#=(aa#)?, 則a∈REP.因此當aa#=aa?時必有a∈REP.從而有下面的引理.

引理2[13]設a∈R#∩R?,

(1) 若Ra?Ra?, 則a∈REP;

(2) 若Ra??Ra, 則a∈REP;

(3) 若aR?a?R, 則a∈REP;

(4) 若a?R?aR, 則a∈REP.

設R為?-環,a∈R#∩R?, 則(a#)?=(a?)#, (a?)?=(a?)?, (a?)?=a.由于(a#)?及(a?)#未必存在, 因此記χa={a,a?,a?,a#,(a#)?,(a?)?}.

定理3設a∈R#∩R?, 則a∈REP當且僅當下面的方程(2.1) 在χa中至少有一個解,

證必要性由于a∈REP, 所以a?=a#.易見a?aa?a=a?a,a?a2a?=a?a2a#=a?a,從而x=a?為方程(2.1) 在χa中的一個解.

充分性(1) 若x=a為解, 則a2a?a=a?a3.從而由引理1 知aR=a2R=a(aa?R)=a2a?R=a2(a?aR)=a2a?aR=a?a3R=a?aR=a?R, 由引理2 知a∈REP.

(2) 若x=a#為解, 則a#aa?a=a?a2a#=a?a.由引理1 知

由引理2 知a∈REP.

(3) 若x=a?為解, 則a?aa?a=a?a2a?, 即a?a=a?a2a?.由引理1 知

由引理2 知a∈REP.

(4) 若x=a?為解, 則

將(2.2)左乘(a?)?得aa?a=a2a?, 由引理1 得

由引理2 知a∈REP.

(5) 若x=(a#)?為解, 則

對(2.3)應用對合得a?aa?a#=a#a?a?a, 由引理1 知

由引理2 知a∈REP.

(6) 若x=(a?)?為解, 則

對(2.4)應用對合得a?aa?a?=a?a?a?a, 由引理1 知

由引理2 知a∈REP.

注意到x∈χa當且僅當x?∈χa, 因此對方程(2.1)兩邊取對合可得下面的方程

由定理3 可得如下推論.

推論4設a∈R#∩R?, 則a∈REP當且僅當上面的方程(2.5)在χa中至少有一個解.

由于a∈REP當且僅當a?∈REP, 因此把方程(2.1)中的a換成a?, 可得下面的方程

利用定理3，可得如下推論.

推論5設a∈R#∩R?, 則a∈REP當且僅當上面的方程(2.6)在χa中至少有一個解.

把方程(2.6)兩邊取對合可得下面的方程

由推論5 知有下面的推論.

推論6設a∈R#∩R?, 則a∈REP當且僅當上面的方程(2.7)在χa中至少有一個解.

定理7設a∈R#∩R?, 若下列條件之一成立, 則a∈REP.

(1)a2a?=a?a3a?;

(2)a#aa?=a?;

(3) (a?)?aa?=a?a2(a?)?a?.

證(1) 由于a2a?=a?a3a?, 右乘a得a2a?a=a?a3.由定理3 充分性的證明(1) 知a∈REP.

(2) 由于a#aa?=a?, 右乘(a?)?得a#a=a?a, 故a∈REP.

(3) 由于(a?)?=(a?aa?)?=(a?)?a?a, 從而R(a?)??Ra.又a=aa?a=a(a?a)?=aa?(a?)?, 從而Ra?R(a?)?, 于是R(a?)?=Ra.由于(a?)?aa?=a?a2(a?)?a?, 兩邊取對合得

故由引理1 知Ra=Ra?a=Ra?a?a=Ra?a?a?a=Ra?a?a?a=Raa?a?a?a=R(a?)?a?a?a?a=Raa?a??Ra?=Ra?, 由引理2 知a∈REP.

推論8設a∈R#∩R?, 則Ra=R(a?)?;aR=(a?)?R.

方程(2.1)右乘a?得下面的方程

由定理7 知當x=a,a#, (a?)?為方程(2.8)的解時, 都有a∈REP.