廣義(2+1) 維淺水波類方程的有理解

杜亞紅, 銀山

(內蒙古工業大學理學院,內蒙古呼和浩特010051)

1 引言

近年來, 數學、物理等各個領域都在研究孤子, 其中求解孤子方程的精確解是應用數學領域中的熱門話題之一.目前已有了多種求解孤子方程精確解的方法, 如: 雙線性導數法[1]、反散射方法[2,3]、Darboux 變換[4,5]、tanh 方法[6,7]等.

這些方法中, 雙線性導數法是由著名的日本數學、物理學家Ryogo Hirota 提出, 他是在研究非線性偏微分方程的解的過程中, 利用攝動法得到一種雙線性方程, 并定義出一種新的微分算子――Hirota 雙線性算子

如果某一方程具有雙線性形式, 那么該方程就能具備可積性.在Hirota 雙線性算子基礎上,馬文秀[8?11]教授提出了一般的雙線性微分算子

其中p是素數且p≥2, 并且(1.1) 式中的滿足

本文中, 借助這個一般雙線性算子(1.1), 從(2+1) 維淺水波方程[12,13]

的雙線性形式, 構造出p=3 對應的一個廣義淺水波類方程.再通過求解該方程的一般雙線性方程的多項式解, 構造了該廣義淺水波類方程的有理解.

2 廣義(2+1) 維淺水波類方程

(2+1) 維淺水波方程(1.3) 通過變換u=2(lnf)x得到其雙線性形式

通過計算可以證明, (2.1) 即為p=2 時(D32,xD2,y?D2,xD2,y?D2,xD2,t)f·f的形式.

根據一般的雙線性算子(1.1), 求得

利用貝爾多項式理論[14?16], 選取變換

可得

則有廣義(2+1) 維淺水波類方程

比較淺水波方程(1.3) 和廣義淺水波類方程(2.5), 可以發現(2.5) 的雙線性形式(2.2) 比(1.3)的雙線性形式(2.1) 更簡單一些, 但(2.5) 比(1.3) 更具有非線性.

根據變換(2.3), 若f是方程(2.2) 的解, 則有u為方程(2.5) 的解.

3 廣義(2+1) 維淺水波類方程的有理解

借助數學軟件Mathematica, 令

代入(2.2) 式, 可以得到它的一系列的多項式解

對應地, 根據變換u=(lnf)x, 可以求得廣義(2+1) 維淺水波類方程(2.5) 的4 類有理解.

第一類有理解

其中

第二類有理解

第三類有理解

第四類有理解

4 結論分析

本文中, 在(2+1) 維淺水波方程(1.3) 的基礎上, 利用一般的雙線性微分算子(1.1), 當素數p=3 時, 得到了具有一般雙線性形式的微分方程――廣義(2+1) 維淺水波類方程(2.5).借助廣義(2+1) 維淺水波類方程(2.5) 的一般雙線性形式, 利用數學軟件Mathematica, 得到了方程(2.5) 的4 類有理解.

圖1：解(4.2) 在t=1 時的三維圖(左), 密度圖(中) 和等高線圖(右)

當參數被選取為

時, 解(3.6) – (3.8) 分別為

即得到廣義(2+1) 維淺水波類方程(2.5) 的3 類特殊有理解.解(4.2), (4.3) 和(4.4) 在t=1時刻的三維圖、密度圖和等高線圖如圖1–3 所示.從這些圖能看出,y=0 直線附近解曲面變化很大, 且當x趨于無窮大時這些解都趨向于0, 即解曲面趨向水平面.

圖2：解(4.3) 在t=1 時的三維圖(左), 密度圖(中) 和等高線圖(右)

圖3：解(4.4) 在t=1 時的三維圖(左), 密度圖(中) 和等高線圖(右)