小學數學思維教學與智力發展

小學數學中的思維教學是數學教學的核心內容，也是小學生智力發展的主要載體。由于小學生的思維具有個性、具象、隨意和不可捉摸等特性，使得小學生思維教學工作困難而具有挑戰性。近幾年我在小學數學思維教學中進行了一些有益的探索，如在思維與語句詞語、思維與情境、思維與表達、思維與數學模型建構、思維的訓練途徑與方法、形象思維與數學邏輯思維的關系等方面從實踐層面進行探索，同時也結合新課程理念進行了一些思考，下面羅列出來與同行們共享。

一、強調數學語言教學，是數學思維教學的基礎

語言是思維的外殼。思維是通過自身有聲的語言和書面語對外輸出的，被接受和理解的前提是語言本身代表明確具體的含義。語文教學中對“詞語”學習的要求是準確具體，還要注重結合情境理解。如果我們把表達數學概念、數學關系、數學符號、數學圖形、數學判斷推理及解決問題的數學思想等都叫做數學語言的話，在教學中讓學生弄懂這些數學語言的內涵是首要的教學任務。然而，現實教學中許多數學教師往往忽略對數學教材中數學語言的教學，因為學生不能準確理解數學語言的含義，給學生造成新知學習上的困難和今后學習的被動。我認為強調數學語言的準確理解和掌握，對學生學習把握數學知識和培養數學思維非常重要。所以，在教學過程中，教師必須加強對數學語言的有效教學，使學生能準確地理解、掌握并應用所學的數學語言，為數學思維的發展奠定堅實的基礎。

那么，怎樣才能做到讓學生明確所學習的數學語言的內涵呢？我一般通過下面幾個步驟達成教學目標。

1.學生說。

可以分為“先說”和“后說”。每當學習新的數學知識，對有關表達知識的詞句，都先讓學生說說對新詞語的理解，從學生的理解中發現學生對學習新知的已有儲備。比如學習加法時，對“一共有多少”中的“一共”就可以讓學生說說自己的理解，教師在學生說的基礎上了解學生的知識儲備，確定下一步的教學策略?！昂笳f”就是在學生掌握和應用知識的過程中，不斷地鍛煉自己的數學語言表達，以期達到鞏固知識和內化知識的目的。

2.教師說。

對于學生來說，每逢學習新的數學知識，教師都必須給予準確的概念講解，避免學生數學知識理解上的混淆不清、莫衷一是。盡管新教材很少用書面文字表達新知，也不提倡讓學生死記硬背，但在教學中讓學生理解準確，進而能用自己的語言準確表達，是十分必要的。

3.動手做。

學生親自動手實踐的知識，不僅有利于記憶，更有利于理解掌握。如“一共是多少”的“一共”是什么意思，學生用具體的物體動手操作后就明白：“一共”就是要把同類事物“合并”到一起計量。動手操作的現實情境一定會在學生的腦海里形成具象，不僅有利于對新知的理解和掌握，還會成為學生以后解決問題時思考的孕伏和鋪墊。

4.同式化。

當學生學習新知以后，一定要給學生提供同情境、同類型、同結構的練習題，通過類比聯系讓學生鞏固知識、內化知識。

5.變式擾。

為了讓學生真正理解掌握新知，還必須設計一定量的變式練習題組，通過干擾訓練，使學生明白雖然有時題目敘述語境有了變化，但所表達新知的內涵沒變，所以解決問題的方式方法也沒變。

6.對比明。

在學生有了一定的知識儲備后，教師要設計一定量的對比練習題組，通過對比練習，使學生了解不同情況下數學語言的聯系和區別，讓學生理解新舊知識的聯系和區別，更加準確地鞏固舊知、掌握新知。

二、揭開數學模式化的面紗，正確認識數學思維的內涵

數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫，逐步抽象、概括形成方法和理論，并進行實際應用的過程。這個對“數學”的定義充分體現了數學模式化本質。學生在課堂上學習的是用數學語言記錄后的數學，它本身就是模式化的產物。因此，要想讓學生受到真正的數學思維訓練，就必須讓學生了解模式化的數學是怎么來的、怎樣被模式的，即必須弄清楚數學模型的建立過程。

客觀世界是怎樣被模式化成數學的呢？我們不妨先來看看數字“7”的由來：北斗7星，一個星期有7天，媽媽買來7個蘋果，山上住著7只小猴子……這些數量經過人類的抽象和概括后就建模成“7”這個數。要想認識7就必須分別認識那些具體的7，那些具體的7 就是學習數字7的起點。正如蘇霍莫林斯基所說：“大自然是人的思想的源泉?！睌祵W的全部思想都是由客觀世界經模式化而來，所以弄清楚數學模型的建立過程，也就弄清楚了學生數學思維學習的起點。

小學數學思維教學內容具有嚴密的內在邏輯結構，是相對完整的體系。作為教師要做到爛熟于心，在教學過程中應當完整地體現出來，讓學生了解并系統掌握，只有如此才能使學生學習的知識融會貫通并形成體系，最終形成能力，發展智力。小學數學思維蘊含的邏輯之一就是數學知識編排呈現的一般次序。比如，小學數學為什么要先學加法？因為減法是加法的逆運算，乘法是求幾個相同加數的和的簡便運算，除法又是乘法的逆運算，加法是母體，其他方法都是它的“子孫”，自然要先學加法。又如，幾何知識的呈現是由平面幾何到立體幾何，平面幾何又是按“長方形（正方形）——平行四邊形——平行四邊形——三角形、梯形、長方形（正方形）——圓”的順序編排的。為什么要這樣編排，教師非常清楚，這樣編排的知識前后緊密相連，前一知識是后一知識學習的起點，后一知識是前一知識的變化和發展，或者說它們可以實現一定條件下的轉化。學生并不真正理解，所以教學每種圖形時，教師都應當引導學生前思后想，弄清楚為什么。當全部學習結束的時候，教師更要引導學生深入地探究一番，弄清來龍去脈，讓學生最終沉淀在腦海里的知識形成系統，會綜合應用。

小學數學思維蘊含的邏輯之二就是數學模型之間的連接關系。如在教學以解決問題為代表的實踐運用數學知識的過程中，首先必須理清問題中各部分的關系，即模型之間的先后次序和連接方式。比如教學例題：老猴說“我采了3筐，每筐12個”，小猴說“我采了6個”，兩只猴一共采了多少個？正確列式為12×3＋6和6＋12×3。兩種算式是因為老猴和小猴有先說與后說之分，但是不論先后，它們說的都是同一個層面上的事，是并列等價關系，都是對問題的正確的數學表述。為什么不能列成12＋3×6呢，因為3筐與6個沒有關系；為什么也不能列成3×（12＋6）呢，因為按綜合法考慮，3筐只與12個有關系，沒有同時和12個與6個產生關系。從分析法考慮，要求“兩只猴一共采了多少個”，就必須先分別知道它們各自采了多少個，小猴是6個很明確，老猴是“3筐每筐12個”，當然要先求出來。上述分析也證明了計算時為什么要“先算乘（除）法后算加（減）法”的四則運算規則，“兩只猴一共采了多少個”的問題同時也闡明了兩只猴采的個數的聯系。這樣的數學學習會讓學生的邏輯分析能力逐漸明晰、豐滿起來。

三、為學生建立數學思維訓練的“場”，在數學學習中增長智慧

數學是人類思維的體操。小學數學教學就是數學思維的教學。教學實踐證明：數學思維教學必須有一個組織嚴密的“場”，在這個場里不僅要提供思維教學的材料，還要有思維教學的內容和方法，以及要實現的目標和保障這個“學習場”正常運行的氛圍。

數學教材提供的以解決問題為目的的數學材料組合以及為解決問題而選取的生活中數學材料都可以用來進行思維訓練。像上述7的認識過程，不僅始終進行著形象思維的訓練，而且從認識到應用的過程也伴隨著內在的邏輯思維，那就是“客觀事物——建立模型——再認識客觀事物”。

對小學生的思維教學主要包括形象思維和邏輯思維，低年級學生以形象思維為主，高年級學生逐漸過渡到以邏輯思維為主。但是人類的形象思維和邏輯思維并不是各自獨立存在的，它們是一個整體，形象思維始終離不開邏輯思維，邏輯思維又是依靠形象思維而展開的。小學生借助數學形象演繹數學邏輯，反過來，在進行判斷推理數學邏輯的過程中又始終依靠數學形象思維。

綜合法與分析法是對學生進行思維教學的主要途徑和方法。運用綜合法來解決數學問題就必須弄清楚提供給我們思考的數學信息之間的聯系，明白有聯系的數學信息會產生什么新的數學信息，并懂得這一新信息與最終要解決問題之間的關系。綜合法是一種由因索果的思維方法，是由現象到本質的歸納，是人類生活中最基本的思考方法。分析法與綜合法相反，它的思考路徑是從假設數學問題可能成立開始，去反向尋求達成一種結果的必有的前提或條件。由果尋因的思考方法是人類生活中又一最基本的思考方法。事實上，我們在進行數學思考時每時每刻都在交替著使用這兩種方法，它們也是一對“孿生姊妹”，既各自獨立，又密切相連。上述例題教學的描述就是例證。在對學生思維訓練中應該拋棄人為地把它們分開的做法，而應該把它們結合起來進行綜合訓練。蘇教版小學數學教材中提供的列表法、畫圖法、倒推法、替換法、轉化法、剪拼法、假設法等都應該是對學生進行思維訓練的工具、手段或技巧，它們都是綜合法與分析法運用過程中的表現形式。

對小學生進行數學思維教學離不開他們的實際生活。數學邏輯的基石是生活邏輯，離開生活，人的思想就成了無源之水，思維也就無從談起。因此，把數學思維教學植根于學生的現實生活是最根本的保障，也是激發學生積極參與的興趣所在。

總之，在小學數學的思維教學中，只要能做到重視數學語言的教學，把握小學數學知識內在的邏輯關系，創造和諧的“學習場”，不斷訓練，就會促進學生思維的發展，既培養學生的能力，提高學生的數學素養，又發展學生的智力，形成數學智慧。

（責編 杜 華）