能量理論在空空導彈攻擊效果評價中的應用*

孫慶鵬，李戰武，寇英信

（空軍工程大學航空航天工程學院，西安 710038）

0 引言

隨著航空工業的飛速發展，飛機裝備性能的不斷進步，中遠距空空導彈的使用，超視距空戰［1］成為現代空戰的主要形式。但隨之而來的，是由于導彈飛行時間的增加，導致飛行員長時間得不到攻擊效果的信息反饋，給下一步的戰術決策帶來困難。

對于飛行員而言，其在一次完整攻擊過程中真正需要的，是能夠及時了解攻擊效果與敵我狀態，在此基礎上飛行員可以更好地進行決策。如當載機發射導彈后，若目標的機動量很大，則可判定此次攻擊失敗，需要進行PK［2］（殺傷概率）增強射擊；反之則攻擊成功，載機進行下一個任務。而這就需要比較導彈追蹤段內目標的機動量與導彈的最大允許機動量，目前有很多評估空空導彈攻擊效能的理論［3-5］，但多數都是從導彈的運動方程出發［6］，對能量的考慮有所欠缺。基于上述原因，本文提出機動強度用以描述一段時間內飛行器的能量消耗，并以此來判斷空空導彈的命中結果。然而，在空戰中戰斗機發射導彈的目的不單單只有毀傷目標，還包括迫使目標機動，便于載機機動占位，特別是在發射區遠邊界處發射的導彈，其更多的目的是后者。機動強度能夠評價前者的效果，但卻不能體現后者帶來的優勢。為了更全面地評價導彈攻擊效果，本文提出機動潛力用以描述目標的剩余機動能力，并以此來評價導彈攻擊帶來的機動優勢。

1 機動強度

1.1 機動強度的重要性

導彈追上目標，歸根到底是靠能量差。從能量機動的角度來說，只有導彈的單位剩余能量高于敵機，才有可能追上敵機，因此，從能量角度對導彈攻擊過程進行分析是不可或缺的。而對導彈攻擊效果的分析，即機動強度的重要性有如下幾點：

1）現代戰斗機發展趨向于高隱身性能，導彈多為內置式，即便加裝了保形彈艙，其載彈量也十分有限。若對一架本就可以擊中的目標進行重復射擊，就會浪費彈藥，影響連續作戰能力，延緩對友機的支援速度。2）當首次攻擊不能對敵機造成有效打擊，若不及時進行PK 增強射擊，就可能被敵機反擊，失去原有優勢。3）在防御性防空中，若首次攻擊失效，而戰斗機又不能對攻擊結果進行預判，就無法及時攔截/摧毀目標，就會被敵機突破封鎖，從而導致需保護的己方單位遭受攻擊。4）當載機所受威脅增大，通過對攻擊效果的判斷，可放棄制導中的導彈并進行機動，降低自身受到的威脅。

1.2 機動強度概念

機動強度是用于對導彈命中結果進行評價，因此，其表征的是有關導彈能否有效跟蹤/攻擊目標。因此，機動強度應從導彈追蹤目標的特點出發描述機動量。

導彈防御原則［7］。一是不論是否看到敵機，要遵守的原則：與最緊急的威脅交戰。飛行員會面臨許多情況，為了提高生存率，必須優先對付最迫在眉睫的威脅。例如：在你尾部的敵機發射了紅外導彈，此時敵機不再是最大威脅，導彈才是最大威脅，必須先應付導彈。二是用相對航向角（雙方航向的夾角）對付導彈。當導彈飛向你，要盡快轉彎，使導彈在你的3/9 線上，給導彈制造最大的制導難題。導彈要擊中你需要按照提前量飛行，而你這樣就使導彈的提前量最大。而且你會以最大視線率穿越導彈導引頭的視場，圖1 顯示了這樣的情形。

根據飛機防御導彈的原則，可知轉彎是對付導彈最基本也是最有效的方式。但現有的評價方法并不能有效體現轉彎對導彈攻擊效果的影響，主要是因為單純從運動學角度出發，沒有考慮轉彎時能量損耗與過載的關系。為了正確分析飛機轉彎對導彈的影響，需要一個能夠用來比較雙方機動大小，準確評價轉彎影響的物理量，即機動強度。

與計算單發導彈的殺傷概率［8］相比，機動強度的作用不僅體現在攻擊過程中，還體現在防御過程中。在以往的導彈防御機動中，飛行員只能依靠自身經驗來確定下一步采取何種機動，但不同類型的導彈與發射時狀態的不同，導致其在末制導段的機動性能也不同，想要建立可靠的經驗十分困難。若載機機動過小，就會被導彈命中；若載機機動過大，就會導致失去過多能量，不利于下一步的作戰。而通過計算載機和導彈的機動強度并進行比較，定量分析防御導彈攻擊所需的機動大小，有利于飛行員選擇合適的機動動作與幅度。

1.3 機動強度模型

戰斗機有兩種類型的能量：動能和勢能。動能只涉及飛機飛行的速度，勢能則是可以“儲存”起來轉化成動能的能量。飛行員可以通過改變機頭指向來轉換能量，任何時候，飛機作機動或轉彎會“消耗”能量。由于導彈的主要機動只有兩種，直行與轉彎，且直行時所受的空氣阻力能夠根據速度與所在高度查表獲得，能量消耗也就能夠對應確定。因此，本文主要討論轉彎對能量消耗的影響。當飛行員執行一個高G 的轉彎，飛機將會“浪費”或喪失更多的能量，因此，能量消耗大小應與Gf值相關。

式中，Wt為轉彎消耗的能量；R 為轉彎半徑；t 為以過載Gf轉彎所用時間；f 為能量消耗與轉彎Gf值的關系，與飛機自身性能（翼載等因素）有關。對于信息充足的己方飛機，可通過計算式（2）中的反函數確定；而對于敵機而言，由于缺少足夠的數據，可使用在線學習［9-10］的方式確定，這里選擇適應正則化學習［11］，這是因其能在剔除異常值的基礎上，不斷利用新數據進行更新，增強函數的可靠性。

式中，v0為轉彎前速度；v1為轉彎后速度；h0為轉彎前高度；h1為轉彎后高度；m 為飛機質量；Wt為轉彎過程中，燃料燃燒轉化的飛機機械能。

設目標機速率為Vm，則有

式中，g 為地心引力；Gm是目標轉彎時的過載。載機的G 力可以通過機載傳感器獲得，但目標機和導彈的G 值無法直接獲得，只能通過上式進行計算。

根據式（3），將飛機減慢到最低空速并盡可能地拉桿（增加G 值）是獲得高轉彎速率的最好的方法。但實際上，G 值也受到空速的影響。如圖2（a）、（c）所示，在較低的空速下，飛行員只能施加較少的G 值，也就是說，當飛機變慢時，飛行員不能無限制地施加G 值。在較低的空速下，機翼所產生的升力也較小，結果，導致了更少的施加G 值的可能性。

設目標機直行段能量消耗為WS，則最終目標機動強度S 可表示為：

設目標飛行時間為ta，則目標在這段時間內的平均機動強度可表示為：

令ta=1，可求得目標的瞬時機動強度，反映目標在某一時刻的運動劇烈程度。再結合成功防御導彈所需的平均機動強度，即可令飛行員大致確定所需采取的機動動作與幅度。

圖2 轉彎性能隨轉彎G 值和轉彎半徑的變化曲線

確定目標成功防御導彈時所需的機動強度大小，就需要了解導彈命中目標所需的能量大小，即需要計算導彈的機動強度。由于導彈燃料的燃燒時間很短，若從較遠距離處發射，其末段速度會變得很小，當其與目標的相對接近速率為負值時，就再也無法追上目標；另一方面，當導彈速度小于最小可控速度時，也視為無法追上目標。因此，將二者中較大的一個作為限制條件。導彈的運動軌跡可以根據目標運動軌跡和導彈的制導率確定，但其速度大小卻無法直接測量，本文通過能量守恒定律對其進行計算。

設導彈發射初速度為vd0，高度為hd0，初始質量為md0，則預計命中時刻導彈具有的機械能Wc為：

式中，Wu為導彈飛行過程中消耗的能量，即導彈的總機動強度，Wu=Wd+Wz；Pe為燃燒燃料釋放內能的功率，與大氣密度有關，可以根據導彈所在海拔高度確定［12-13］；te為燃料燃燒時間，當導彈飛行時間t>燃料最大燃燒時間temax時，取te=temax，否則取te=t；η為燃料內能轉化為導彈機械能的效率，與發動機性能有關。由于導彈在直行段受到的空氣阻力可以根據導彈速度實時計算［14-15］，因此，導彈在直行段的能量消耗Wz容易計算，只需再計算轉彎時的能量消耗Wd即可。

由于導彈是根據一定導引規律對目標進行跟蹤，因此，目標的轉彎應與導彈的轉彎有直接聯系，也就能夠從目標的機動強度推斷導彈的機動強度。

設導彈與目標的相對距離為L，相對高度差距為hc，目標機執行一個半徑為Rm、速度為Vm的轉彎機動，則導彈轉彎的需用過載Gn為：

式中，k 為比例導引法的比例系數；θ 為雙方相對航向角；v（t）為t 時刻導彈速度大小，h（）可根據文獻［16］中的式（6）確定。

設導彈的可用過載為Ga，則實際過載Gd為：

再根據導彈轉彎時能量消耗與G 值的關系p（仿照式（2），根據實驗數據擬合其反函數確定），可得導彈以過載Gd轉彎過程中的能量消耗Wd：

式中，td為以過載Gd轉彎所用時間；r 為導彈以過載Gd轉彎時的轉彎半徑，可利用速度與過載根據式（3）計算，p（）為能量消耗與轉彎Gd值的關系，與f（）確定方法相同。假設需用過載始終不大于可用過載，則根據轉彎前后的能量守恒有：

式中，m（ted）為燃料燃燒后的導彈質量；ted為轉彎過程中燃料燃燒的時間。

將所有常量之和設為T，則轉彎后的速度Ve為：

當時間步長很小，燃料燃燒導致的質量變化可忽略不計，此時有：

最后聯立式（1）、式（4）、式（6）與式（12），解算轉彎過程中導彈機動強度M 與目標機動強度S 的關系為：

式中，g（）為根據轉彎過程數據對式（12）進行積分并帶回式（4）與式（6）的過程。再以導彈末速度=max（目標速度，最小可控速度）為條件反推，可得恰好能夠成功命中目標時導彈的機動強度，再根據式（13）反推，可得目標機動強度閾值。對于進入主動段的導彈而言，一旦目標脫離其導引頭視場范圍［17-18］，就無法繼續追蹤目標。因此，還需在進行式（12）的遞推時，需要對雙方相對航向角進行判斷，一旦其超過限制值，就判定攻擊失敗。

2 機動潛力

如果只考慮對導彈進行防御，那么機動強度越大越好，但飛機在高機動強度的動作后，其剩余機動能力即機動潛力就會大幅削弱，即陷入機動劣勢。為了盡量保留剩余機動能力，合理規劃逃逸導彈所需的機動強度，還需對機動潛力做出合理評價。不論是博伊德的能量機動理論，還是戰斗機的敏捷性指標［19-20］，它們表征更多的是戰斗機本身固有的性能，與飛機實際狀態無關。而本文中的機動潛力則是描述當前時刻空戰雙方相對潛在機動能力的物理量，其與飛機性能、當前時刻狀態，以及雙方相對位置關系都有關。因此，其體現的應該是當前時刻載機與目標之間的相對關系，本文從3 個方面出發，以載機為參照物，確定目標的機動潛力。

目標的機動潛力fp 可表示為：

式中，fp 為相對機械能；fs 為相對SEP；fv 為指向速率比。

機動潛力的評價指標與非參量法進行態勢評估的指標［21-26］相似，但其包含的意義不同。態勢評估是對當前狀況的比較，而機動潛力則是雙方蘊含的潛能，是對未來可能性的比較，根據飛行員的機動選擇，發揮的機動潛力也不相同。

2.1 相對機械能

機械能是飛機動能與勢能之和，代表當前時刻飛機蘊含的能量。再優秀的飛行員，也無法用缺乏能量的飛機進行復雜的機動，導彈的戰術攻擊區也與飛機能量息息相關。

式中，mm、m0分別為目標和載機的質量；vm、v0分別為目標和載機的速度；hm、h0分別為目標和載機的高度。

2.2 相對SEP

在飛機失去動能后，不僅可以降低高度將勢能轉化為動能，也可以依靠一段時間的直線飛行，將燃料的內能轉化為自身動能。SEP［27-28］（specific excess power，單位剩余功率）就是定量描述飛機這一性能的指標，其定義為在給定的油門狀態下，飛機能量高度在飛行過程中隨時間的變化率。SEP 越大，飛機的加速性能與爬升性能越好。

式中，T 為瞬時推力；D 為瞬時阻力；V 為瞬時速度；m 為飛機質量。目標機的推力無法直接獲得，但可以通過測量目標的加速度am確定其SEP。則雙方的SEP 比為：

2.3 指向速率比

僅從機械能來描述飛機機動潛力，就無法對角度戰術、特別是過失速機動［29］的優勢進行很好的解釋。而實際上，角度之中也包含著能量關系。因此，本文參考空戰雙方的指向裕度，提出指向速率比，對雙方在角度上的機動潛力進行衡量。

指向裕度［30-31］是衡量空戰敏捷性的指標之一，它能夠評估飛機指向目標的快慢程度。指向裕度定義為被指向方機頭指向線與指向方機頭指向線之間的夾角。如圖3 所示，即表示當我機開火時，敵機需轉動多少角度才能指向我機。但在空戰中，雙方都會盡力避免被對方機頭指向己方，圖3 的情況很難發生，因此，利用目標進入角和提前角，提出指向速率比，比較雙方指向對方的快慢程度。圖4 顯示了目標進入角與提前角，顯然，圖4 的情況更具有一般性。當指向速率比大于1 時，代表目標機指向載機比載機指向目標機的速度快，即若保持當前運動狀態，目標機能夠更快獲得角度優勢。

式中，fv為指向速率比；q 為目標進入角；為提前角；w（vm）、w（v0）分別為目標和載機根據當前速度計算出的最佳轉彎速率，可根據當前速度與圖2 確定。

圖3 指向裕度

圖4 目標進入角與提前角

3 仿真分析

設初始狀態載機與目標相對距離為40 km，載機速度為300 m/s，勻速直線飛行，雙方迎頭飛行，假設雙方飛機性能相同。導彈的最大射程為40 km，載機已發射一枚導彈，且目標和導彈相對距離為20 km，目標速度為300 m/s，導彈當前速度為600 m/s 且燃料已耗盡，導引規律采用比例導引法，且比例系數為3，導引頭視場角為±30°，殺傷半徑為10 m，阻力系數取0.2，其與目標的初始相對航向角為180°，在同一水平面內，目標機以0.05 rad/s 的角速度進行勻速轉彎。

在不考慮能量因素，只根據導彈數學模型（運動模型、導引率模型等）分析的情況下，導彈將在35.09 s 時，于（14 087 m，7 087 m）處擊中目標，預計目標與導彈的運動軌跡如圖5 所示。

圖5 純數學模型軌跡圖

但如果考慮能量因素的影響，則目標在這段時間內的平均機動強度為：

而將導彈運動代入式（12）反推可知成功防御時的目標平均機動強度閾值為6.85×106，由于8.67×106＞6.85×106，因此，目標機動能成功防御導彈。為了進行驗證，利用導彈機動強度計算其預計命中時刻速度。

由于導彈的轉彎過載與速度在不斷變化，因此，計算機動強度時需采用微元法，步長取0.01 s。

根據導彈機動強度可以確定其命中時刻速度為：

因此，可知導彈無法命中目標，利用機動強度計算的目標與導彈軌跡如下頁圖6 所示。

圖6 考慮能量因素運動軌跡圖

再計算目標機動前后的機動潛力：

分析結果發現雖然目標沒有進行大過載機動，使其相對機械能與SEP 并未改變，但由于其為躲避導彈進行轉彎，在角度上陷入劣勢，從而導致機動潛力減小。

4 結論

本文從導彈追蹤目標的特點出發，從能量的角度研究飛機躲避導彈的基本原則，提出了機動強度，推導了導彈與目標運動強度的對應關系，彌補了現有方法對轉彎過程中能量消耗考慮不完備的缺點，給導彈攻擊效果評價提供了新的思路。同時，結合大機動強度會影響飛機后續機動的情況，又提出機動潛力，對敵我雙方剩余機動能力進行比較，為下一步戰術的選擇奠定基礎。仿真結果證明使用機動強度能夠彌補僅僅使用運動方程評價導彈攻擊效果的缺陷，機動潛力能夠較好地體現進行大機動強度的動作后對機動潛力的影響，比較符合空戰實際。本文沒有考慮目標釋放干擾彈后對導彈的影響，這方面還有待進一步研究。