導彈部隊作戰路網穩健性建模與分析

吳閏平，劉衛東，楊 萍，韓慧華

（火箭軍工程大學，西安 710025）

0 引言

隨著科學技術的高速發展，敵偵查監視設備偵查范圍廣、速度快、效率高，且不易受天氣地域條件限制，可對我作戰路網實行長時間、大范圍的連續偵察監視。在現有作戰條件下，我方部分導彈依舊采用固定場坪發射，在作戰過程中，導彈發射裝置從待機陣地將導彈機動至發射陣地進行發射，敵通過偵察監視設備獲取我方路網特點，通過分析對我重要道路節點實施精確打擊，以延緩或破壞我方導彈發射流程。展開對作戰路網穩健性分析，對我路網情況進行分析，以便在實戰過程中受敵打擊破壞后產生較小影響，繼續導彈發射流程，達到作戰目的。

1 路網評價指標

在民用領域，針對城鄉路網及公交復雜網絡相關理論研究已經較多，主要針對復雜網絡的無標度性、小世界性、可靠性、中心性以及路網的動力學過程等進行相關研究［3-4］。在導彈機動作戰領域，由于作戰路網與城鄉路網具有本質的區別，作戰路網道路一般分布在偏遠地區，道路容量較小，且作戰過程對時間的準確度要求較高［1-2］，路網的抗打擊破壞能力較強等，因此，基于復雜網絡理論對導彈作戰路網穩健性進行研究具有重要意義。本文主要從路網最大連通子圖、平均路長、路網效率、聚類系數等方面對導彈作戰路網進行分析。

1.1 最大連通子圖

連通子圖指在路網中通過最少的邊把路網中的節點連接起來的子圖。其中最大連通子圖指的是各個子圖中節點數最多的子圖的節點數與總節點數的比例。如圖1 所示。

圖1 最大連通子圖

節點A、B 遭到破壞而失效，將原有的路網分割成一個有4 個節點的最大連通子圖和4 個其他的連通子圖。且最大連通子圖的比例為4/10=0.4。

1.2 平均路長

平均路長表示在整個路網中，每個節點連接其余所有節點的路徑長度的平均值，通過平均路長這個指標可以反映出整個網絡的聯通情況。其中，平均路長可以表示為：

其中，N 為網絡節點數，dij為i 和j 之間的距離即連接兩個節點的最短路徑的邊數。

1.3 路網效率

路網效率表示兩個道路節點i 和j 之間距離的倒數，當兩個道路節點沒有道路相連時，路網效率為0。對整個路網效率而言，將所有兩個道路節點之間的路網效率的平均值定義為全局效率，用Eglob（G）表示，

其中，E（Gi）表示兩節點之間的效率，dij表示兩節點之間的距離，N 為路網中節點總數。

1.4 聚類系數

聚類系數用C 表示，表示網絡的聚集程度。C 越大，即表示網絡越緊密，反之，表示網絡較為松散。

其中，TEi表示節點i 與其余節點連接的邊數，ki（ki-1）/2 表示與節點i 相連接的ki個節點間最大的連接邊數。

1.5 動態時間指標

考慮到發射裝置在實際作戰中對時間要求較高，基于實戰情況下的路網不僅要考慮路網本身的穩健性，還要考慮發射裝置在路網上所用時間的變化。同動態距離指標類似，這里引入節點刪除法將選擇中的節點設置為一個較大的數字，以使得在重新規劃路徑及時間的基礎上，避免對此節點的重新選擇且仍保持原有路網的基本特性。令

2 打擊策略指標

在實際作戰情況下，敵方依靠高科技偵察設備，對我方作戰區域進行偵查，并分析我方路網分布情況，對分析得出的重要節點進行打擊。在一般情況下，敵方可能會考慮到的道路關鍵因素有以下幾項。

2.1 節點連接度指標

路網信息一般可以表示為G（V，E，LE），其中，V表示節點集，E 表示邊集，LE表示節點連接情況。節點的連接度表示為路網中與此道路節點相連接的道路數，表示為：

其中，ki表示連接度；aij、aji表示鄰接矩陣中的部分元素，其中，aij、aji為1 表示i 與j 相連接，aij、aji為0表示i 與j 不連接。如果一個節點的連接度較大，就可以看出如果此點遭受到敵方的打擊后，對整體造成的影響將會更大，如圖2 所示，節點J 連接4 條道路，如果節點J 遭受敵方打擊失去作戰效能，這4 條道路將失效。

圖2 節點連接度示意圖

但考慮在實際路網情況下，存在部分道路節點連接度較小，但通過間接連接關系與部分高連接度節點連接，如果僅僅考慮高連接度節點，將會對此類的重要節點有所遺漏，如圖3 所示。

圖3 節點連接度示意圖

2.2 節點介數指標

節點的介數指標是指在給定的一個路網中，通過計算求得的通過這個節點的最短路徑的數目與所有最短路徑數目的比值，記為：

其中，ηjk表示節點j 與節點k 的最短路徑數目；ηjk（i）表示連接節點j 與節點k 且經過節點i 的最短路徑數目。

圖4 節點介數示意圖

如圖4 所示，分別表示由上層起始道路節點到達中間道路節點再到達目標道路節點，而在圖4（a）中，從上層起始道路節點到達最終目標道路節點可以有3 個道路節點可供選擇，節點U 介數較低，即使U 遭受打擊，整體路網依然可以連通；而圖4（b）中由上層道路節點到達下層目標節點只有一個道路節點可供選擇，節點介數較高，如果中間道路節點遭受打擊，則整體道路將會失效。

2.3 節點重要度指標

對節點介數、度數的考慮是從靜態的方面對路網進行分析，考慮到在實際的作戰過程中，整個作戰過程是動態的，如果僅僅考慮節點連接度、節點介數的指標存在片面性，因此，需要考慮在實際作戰過程中導彈發射裝置對道路的選擇情況，構建節點重要度指標。在路網中，各個節點之間相互連接，一個道路節點的失效，將會導致整體導彈發射裝置機動方案的變化，而機動方案的變化又會引起新的節點失效，所以整個路網并不是一個靜態不變的網絡，而是一個變化的動態網絡。

在以往的處理方式中，都是對此類重要節點進行刪除，進而分析其他節點的影響，但是考慮到節點的刪除會讓整個路網不連通，在時間計算過程中會使得所用時間趨于無限大，為此，并不將道路節點簡單地刪除，而是增加其與之相連的網點之間的路程，這樣就可以解決由于路網不連通而導致機動時間無限大的問題，并且可以方便地比較路程增加后，對整個路網連通的影響。即在刪除道路節點后，最短路徑變化量為

3 研究假設

針對復雜網絡有關穩健性的相關研究理論，將復雜問題逐步進行求解，假設如下：

1）將作戰路網中的各個節點看作復雜網絡之間的節點，相鄰的道路節點之間的路徑作為復雜網絡的邊；

2）遭受破壞的節點或邊將在路網中失效；

3）與失效的節點相連的道路也將會失效；

4）在精確打擊情況下，敵對我方路網情況有所了解，但對我方作戰意圖及機動方案并不清楚。所以在實施精確打擊時，會采取某種策略進行打擊，通過不同的打擊策略打擊的道路節點可能不同，對整體路網造成的影響不同；

5）通過道路節點，節點與節點之間的邊連接起來，道路結構就構成了整體的路網框架。在整體的路網框架中，只要節點與節點之間相連，就可以保證通行，但在通行的過程中，應充分考慮道路容量問題，部分單行道不允許在機動過程中出現道路會車、超車情況。

4 算例分析

根據2017 年研究生數學建模E 題路網及某優化機動方案進行穩健性分析，路網如圖5 所示。

圖5 作戰區路網

已知兩個波次的最短機動路徑如表1 所示。

表1 兩波次最短機動路徑

其中，D 表示待機陣地，J 表示道路節點，F 表示發射陣地，Z 表示轉載陣地，總計用時127 h。

4.1 高連接度節點打擊策略

對下頁表2 中節點度數較高的節點J03，J21，J25，J27，J28，J32，J44 等按照大小順序進行精確打擊，通過結果判斷路網的空間脆弱程度，并分析平均路徑長度、最大連通子圖、網絡效率與節點比例的關系如下頁圖6 所示。

表2 節點度數統計

圖6 打擊高連接度節點圖

通過分析可以看出，在對高度節點精確打擊下，平均路徑長度呈現先迅速變大后再變小的過程，這在實際中也是相符的，通過打擊部分節點連接度較高的節點，將部分節點之間的路徑長度變長，即使此時損失了部分節點，但由于這部分節點的損失對整體的平均路徑長度的影響更大，所以平均路徑長度呈現了先上升的趨勢。之后通過精確打擊其余節點，道路情況受損嚴重，平均路徑長度降低。通過實驗仿真可以看出，該路網在平均路徑長度這個指標方面抗打擊能力較強，路網穩健性較好，當節點損失率達到將近20 %時，路網平均路徑長度依然保持80 %連通性。路網連通子圖開始保持一定速度持續下降，等到節點遭受破壞達到將近50 %左右時，路網呈現碎片化，這表明路網對精確打擊的抗打擊能力較強，不會因為部分少數節點的損壞使整個路網碎片化；刪除節點之后對路徑重新規劃可以看出，總體時間變長，但開始變化較小，隨著節點減少數目的增加，所用時間變得更長，當節點數目減少到70 %左右時，時間比例變為0，這表明由于節點的損失，已經無法完成發射任務，所用時間無限長。通過分析可以看出，整體路網穩健性依然較強，當節點損失率達到將近30 %左右時，路網所用時間與原來所用時間之比為0.8。

表3 節點介數

4.2 高介數節點打擊策略

對表3 中節點介數較高的節點J21，J40，J41，J48，J06，J12，J13，J32，J37，J38，J46 等 進 行 精 確 打擊，判斷路網的脆弱性，并分析平均路徑長度、最大連通子圖、網絡效率與節點比例的關系如圖7 所示。

圖7 打擊高介數節點情況

通過分析可以看出，在對高介數節點實施打擊時，平均路徑長度也先迅速變大之后迅速變小，在實際中表示通過打擊高介數節點，大多數最短路徑被破壞，通過重新選擇路徑，平均路徑長度變長，隨著精確打擊其余節點數目的增多，更多的節點孤立出來，道路情況受損嚴重，平均路徑長度降低。通過實驗仿真看出，該路網在平均路徑長度這個指標方面抗打擊能力依然較強，路網穩健性較好，當節點損失率達到將近20%時，路網平均路徑長度依然保持80%連通性。路網連通子圖開始保持一定速度持續下降，等到節點遭受破壞達到將近50 %左右時，路網呈現碎片化，這表明路網對精確打擊的抗打擊能力較強，不會因為部分少數節點的損壞使整個路網碎片化；刪除節點之后對路徑重新規劃可以看出，總體時間變長，但開始變化較小，隨著節點減少數目的增加，所用時間變得更長，當節點數目減少到60 %左右時，時間比例變為0，這表明由于節點的損失，已經無法完成發射任務，所用時間無限長。通過與打擊高連接度節點相比，打擊高介數節點對整體時間的影響顯得更加明顯。通過分析可以看出，整體路網穩健性依然較強，當節點損失率達到將近20%左右時，路網所用時間與原來所用時間之比為0.8。

表4 節點最短路徑變化量

4.3 重要節點打擊策略

精確打擊重要節點J13，J15，J07，J08，J09，J14，J04，J03，J37，J44 等（見表4），判斷路網的脆弱性，并分析平均路徑長度、最大連通子圖、網絡效率與節點比例的關系，如圖8 所示。

圖8 打擊重要節點情況

在對重要節點實施打擊時，平均路徑長度隨著節點損失率的增加而變小，平均路徑長度降低。通過實驗仿真可以看出，該路網在平均路徑長度這個指標方面抗打擊能力依然較強，路網穩健性較好，當節點損失率達到將近15%時，路網平均路徑長度依然保持80%連通性。路網連通子圖開始保持一定速度持續下降，等到節點遭受破壞達到將近60%左右時，路網呈現碎片化，這表明路網對精確打擊的抗打擊能力較強，不會因為部分少數節點的損壞使整個路網碎片化；刪除節點之后對路徑重新規劃可以看出，總體時間偏長，但開始變化較小，隨著節點減少數目的增加，所用時間變得更長，當節點數目減少到50%左右時，時間比例趨于0，這表明由于節點的損失，路網各個節點之間已經不連通，無法完成發射任務。通過與打擊高連接度節點相比，打擊高介數節點對整體時間的影響顯得更加明顯。通過分析可以看出，整體路網穩健性相比高度數節點與高介數節點發射裝置所用時間的影響更加明顯，當節點損失率達到將近10%左右時，路網所用時間與原來所用時間之比為0.8。

5 結論

通過精確打擊高連接度節點、高介數節點和重要節點等策略，對路網最大連通子圖、路網平均路徑長度以及動態時間比例等因素進行分析，通過仿真計算可以看出，在精確打擊高連接度節點、高介數節點和重要節點時，當節點攻擊達到20 %左右時，路網依舊能夠保持較好的連通性能，路網抗打擊性能強，穩健性較好；當失效節點數目達到總結點數目的60%左右時，路網逐漸趨于癱瘓、碎片化。