“方程的根與函數的零點”教學設計

李曉娜

[摘? ? ? ? ? ?要]? 借助GeoGebra軟件，以數形結合為主線，對“方程的根與函數的零點”一課進行教學設計，意在引導學生體會零點定義由特殊到一般的推導過程，凸顯零點存在性定理的發現過程，以培養學生的數學抽象、直觀想象、邏輯推理以及辯證思維的數學素養。

[關? ? 鍵? ?詞]? 零點;數形結合;化歸轉化

[中圖分類號]? G712? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2019）22-0220-02

一、教學設計理念

（一）教學任務分析

方程的根與函數的零點是學生學習函數與方程的第一課時，以基本初等函數為基礎，為用二分法求方程的近似解奠定基礎，在課程中起著承上啟下的作用。

（1）學生在初中已經學習了一些基本初等函數的圖像及性質，并具備判斷一些基本初等函數單調性、奇偶性以及進行簡單加減運算的能力。（2）結合學生熟悉的方程根的概念，以及初等函數圖像的簡單性質，初步領會函數零點的概念，培養學生的歸納思想、化歸轉化思想以及數形結合思想。（3）學生親歷函數零點存在條件的探究過程，通過函數零點左右兩端附近函數值符號變化這一背景，歸納出零點存在性定理，以及零點存在性定理并不是函數零點存在的充要條件，培養學生的數學抽象、直觀想象、邏輯推理以及辯證思維的數學素養。

（二）教學重難點

教學重點：引導學生體會函數零點與方程的根之間的聯系。

教學難點：零點存在性的判斷。

二、教學過程簡錄

（一）溫故知新，引入新課

問題1：如何判定任意一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）實數根的情況？

生：根據Δ=b2-4ac與0的關系，來判斷方程實數根的情況。

師：同學們回答得很好。現在老師用書本將方程等式右邊遮住，現在你會想到什么？

生：二次函數。

師：對！二次函數y=x2+bx+c（a≠0）的圖像是什么樣子呢？

生：它是一條拋物線。

設計意圖：通過對中學學習的一元二次方程以及二次函數一些簡單性質的回顧，引導學生將方程與函數聯系起來，引起學生求知欲，為函數零點的引出做準備。

問題2：請同學們在學案上求出方程x2-2x-3=0，x2-2x+1=0，x2-2x+3=0的實數根，并畫出其所對應的函數圖像。思考：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的實數根與其對應的二次函數的圖像與x軸交點有什么樣的聯系呢？

生：方程的實數根就是相應函數圖像與x軸交點的橫坐標。

師：這個實數在我們后續的學習中非常重要，我們就把它稱為函數的零點，該怎樣來描述呢？

生：對于函數y=f（x），我們把使f（x）=0的實數x叫作函數y=f（x）的零點。

師：什么是函數的零點呢？函數的零點是函數圖像與x軸交點的橫坐標，是方程的實數根。從定義上來看求解函數零點的問題其實就是解方程的問題。

設計意圖：通過對函數圖像的觀察，經歷根的求解過程，抓住問題的本質，在認識上從感性上升到理性，助推認識的升華。通過分析、比較，提煉出函數零點這個概念，生成概念也就順理成章。眾所周知，數學概念教學是發展學生數學核心素養的重要載體，在教學中，設置情境、剖析問題，讓學生弄清概念的緣由，在理解概念的基礎上才能靈活運用概念。

（二）例題講解，鞏固新知

例1.求函數f（x）=x（x2-16）的零點（? ）

A.（0，0） （4，0）?????? B.（0，4）

C.（-4，0） （0，0） （4，0）?? D.（±4，0）

有的學生認為第一步需要先找出函數所對應的方程x（x2-16）=0，然后求得這個方程的實數根是0，±4，因此選擇D。而有些同學認為應該選擇C。在此強調函數的零點只是函數圖像與x軸交點的橫坐標，而不是坐標點。

設計意圖：通過求函數f（x）=x（x2-16）的零點一方面讓學生熟練掌握函數零點求解過程，另一方面讓學生對函數零點概念的理解有更進一步的認識，利用化歸轉化思想解決問題。

（三）合作探究，構建定理

問題3：所有函數都有零點嗎？如果不是，請舉出反例。

生：不是，函數y=x2-2x+3就沒有零點。

生：函數y=也沒有零點，還存在其他的一些沒有零點的函數。

師：是的。我們用數學軟件來畫出這兩個函數的圖像。（如圖1）

設計意圖：剛剛學習函數零點的概念，容易使學生的思維受到已有知識禁錮。問題3在此時提點學生不是所有的函數都存在零點，讓學生舉例出不存在零點的函數的個例，將本節課知識與學生已有知識聯系起來，一起讓學生思考與想象。該問題也為后來引出零點存在性定理作鋪墊，起到承上啟下的作用，體現了學生的思辨能力以及數形結合思想。

問題4：函數的零點在什么條件下存在呢？

生：……（沉默）

師：對比圖1，我們來一起觀察表格中的三個函數有什么共同的特征呢？

生：首先表中的三個函數都存在零點，然后……（不知如何描述）

師：讓我們一起來看一看。我們在零點兩側附近分別取值，有什么發現呢？

生：位于零點兩側附近的函數值分別大于零或小于零。

師：對。我們以函數y=sinx的函數圖像為例。我們在零點兩側分別取x1，x2，x3三個點，這相鄰的兩個點所對應的函數值有什么特征呢？（如下圖）

生：異號，并且有f（x1）·f（x2）<0，f（x2）·f（x3）<0。

師：也就是說在函數在區間[a，b]上，滿足f（a）·f（b）<0，那么在區間（a，b）可能存在零點。什么情況下零點一定存在呢？我們再來觀察一個特殊的函數圖像（如圖3），這個函數圖像同樣滿足f（x1）·f（x2）<0，但在區間（x1，x2）上卻沒有零點，因此我們需要補充什么樣的一個條件呢？

生：函數圖像在區間[a，b]上是一條連續不斷的曲線。

師：嗯。那我們把這兩個條件結合在一起可以怎么表述呢？

生：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的函數圖像是連續不斷的曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點。即存在c∈（a，b），使f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根。這就是零點的存在性定理。

設計意圖：引導學生親歷零點存在性定理推理過程，培養學生直觀想象、邏輯推理能力，學生更能深刻地認識到函數零點存在的條件，在學習中體會發現“真理”的樂趣，培養數學興趣。

問題5：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的函數圖像是連續不斷的曲線，但不滿足f（a）·f（b）<0，是否意味著函數沒有零點呢？

生：二次函數中函數圖像只與x軸有一個交點的函數，比如y=x2-2x+1等于其類似的函數在定義域上連續，不滿足f（a）·f（b）<0但仍存在一個零點。

師：是的。這也就是說零點存性定理只是函數零點存在的充分條件，并非必要條件。

設計意圖：通過問題5，調動學生的直觀想象、數形結合、邏輯推理能力，引導學生經過一系列的數學思考后明白零點的存在性定理只是函數零點存在的充分條件，培養學生的辯思能力。

（四）定理應用，能力提升

問題6：求函數y=lnx+2x-6零點的個數。

生：用零點存在性定理。由于函數y=lnx+2x-6的定義域為（0，+∞），并且為單調增函數，又因為f（2）<0，f（3）>0，滿足f（2）·

f（3）<0，所以函數只有一個零點并且在區間（2，3）上。

師：大家說這位同學講得對不對？

生：對！

師：這位同學熟練地運用了函數零點存在性定理，并結合函數奇偶性來判斷函數零點的個數，非常好。這道題還有沒有其他的解法？

生（舉手示意，并上臺講解）：寫出函數y=lnx+2x-6所對應的方程lnx+2x-6=0，即lnx=-2x+6，求函數y=lnx+2x-6的零點就可以看作求函數y=lnx與y=-2x+6函數的交點，分別畫出它們的圖像，交點的橫坐標就是函數y=lnx+2x-6的零點。（學生板演略）

（全班掌聲響起）

老師用GeoGebra軟件作出演示函數y=lnx+2x-6的圖像，并進行驗證。（PPT展示）

設計意圖：通過上述問題檢驗學生對函數零點存在性定理的掌握、理解、運用情況。拓展學生思維，使學生養成嚴謹的數學思維習慣，提升學生數形結合意識、數學運算能力等數學素養。

（五）課堂小結，素養升華

引導學生對零點的定義、零點存性定理、數學思想方法三個方面進行歸納總結，并強調零點概念的易錯點以及運用零點存在性定理求零點時要注意到函數的圖像必須是連續不斷的曲線。

設計意圖：引導學生從知識、方法、思想三個方面對所學知識進行總結，增強學生的自主學習能力，培養學生抽象概括素養。

三、課后思考

在函數滿足零點存在性定理的條件下，函數零點所在的區間是否可進一步縮小，怎么便捷有效地縮小？

設計意圖：引起學生思考，為下節課用二分法求方程的近似解作鋪墊。

四、教學反思

本小節的主要是概念教學，概念教學在數學教學中起著非常重要的作用，它是學生了解數學、理解數學、掌握數學、應用數學的基礎和源泉。由于在此之前學生沒有學習過函數連續性的概念，所以不能以有關聯系性的概念來進行推理，只能直觀地依靠圖像講道理。通過對函數圖像的觀察經歷根的求解過程，抓住問題的本質，從感性認識上升到理性認識，助推認識的升華。通過分析、比較，提煉概念，生成概念也就順理成章。但從整體的知識構架來看，學生必須經歷一個由“數”到“形”再到“數”的認識過程，而正是這個過程不斷提升著學生直觀想象、數形結合、化歸轉化、邏輯推理、辯證思維等數學素養，培養學生在學習中體會發現“真理”的樂趣，培養數學興趣。

參考文獻：

[1]王赟.課例：方程的根與函數的零點[J].中學數學教學參考（上旬），2018（11）：12-15.

[2]陳德燕.創設教學情境，啟發學生思考，把握數學本質：方程的根與函數零點教學案例[J].福建中學數學，2018（11）：21-24.

[3]袁亮.“方程的根與函數的零點”教學分析與建議[J].數學教學通訊，2018（21）.

[4]黃之.正確解讀教材文本 準確把握教學內：對“方程的根與函數的零點”聽課中的幾點思考[J].中學數學教學，2016（4）：13-16.

◎編輯 張 慧