一類二階變系數線性微分方程解題方法探究

黃梅花

[摘? ? ? ? ? ?要]? 二階線性微分方程在常微分方程理論中占有重要的地位。一般求解常系數線性微分方程的方法包括特征根法、比較系數法和拉普拉斯變換法等，但二階變系數線性微分方程卻沒有一般的方法進行求解。利用解微分方程的重要方法——常數變易法，給出一類二階變系數線性微分方程通解的求法和結論，經過探究證明方法和結論是可行的。

[關? ? 鍵? ?詞]? 二階變系數線性微分方程;解題方法;通解

[中圖分類號]? O175? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號]? 2096-0603（2019）22-0194-02

形如y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的微分方程，稱為二階線性微分方程，其中p（x），q（x），f（x）是已知函數。當f（x）≠0時，稱方程為二階非齊次線性微分方程;當p（x），

q（x）為常數時，稱方程為二階常系數線性微分方程;當f（x）=0時，稱方程為二階齊次線性微分方程;稱方程為二階變系數線性微分方程的條件則是p（x），q（x）為非常數。我們知道，其中p，q是常數的二階常系數齊次線性微分方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x），（1）。當（1）的特征方程r2+py+q=0的兩個根r1，r2為兩個相等的實根，即r1=r2=r時，（1）的通解為y=（C1+C2x）erx，其中y1=erx，y2=xerx分別為（1）的兩個特解。利用上述結果，對一類二階變系數齊次線性微分方程[k（x）y′]′+p（x）y′+q（x）y=0，（2）其中k（x），p（x），q（x）是關于x的函數，通過常數變易法給出了其通解的表達式。下面我們主要探討二階變系數線性微分方程的通解，因為對二階常系數線性微分方程的通解已經有了一般的計算方法，當然下面的定理也適用于二階常系數線性微分方程。

一、兩個定理及其證明

定理一：若y1為二階齊次線性微分方程y''+p（x）y'+q（x）y=0的特解，則二階非齊次線性微分方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解為：

Y=c1y1+c2y2∫e-∫p（x）dxdx+y1∫[∫

y1f（x）e-∫p（x）dxdx]dx

分析過程如下：對方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解問題，我們由教材中的定理可知：若y1和y2是方程y''+p（x）y'+q（x）y=0的兩個線性無關的特解，y0是方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的特解，則y=C1y1+C2y2+y0是方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解。所以方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解問題，就轉化成求y2和y0，即兩個特解的問題。我們下面用常數變易法求解。

證明（1） 令y2=C1（x）y1（C1（x）為待定函數，且C1（x）非常數）是y''+p（x）y'+q（x）y=0的另一個特解，顯然y1和y2線性無關。我們求導，可得y2'=c1'（x）y1+c1（x）y1'，Y2''=c1''（x）y1+2c1'（x）y1'+c（x）y1''，將其代入方程y''+p（x）y'+q（x）y=0，整理可得：c1''（x）y1+（p（x）y1+2y1'）c1'（x）+（y1''+p（x）y1'+q（x）y1）c1（x）=0已知y1為二階齊次線性微分方程y1''+p（x）y1'+q（x）y=0的特解，故y1''+p（x）y1'+q（x）y1=0，代入上式，有c1''（x）y1+（p（x）y1+2y1'）ci'（x）=0。

這是一個關于C1'（x）的分離變量的微分方程，用分離變量法，得到：

C1'（x）=e∫-p（x）dxdx積分可得：c1（x）=∫e∫-p（x）dxdx

所以y2=y1∫e∫-p（x）dxdx是y''+p（x）y'+q（x）y=0的另一個特解，并且與y1線性無關。

（2）令y0=c2（x）y1（c2（x）為待定函數）是y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的一個特解，求導可得：yo'=c2'（x）y1+c2（x）y1'

y0'=c2'（x）y1+2c2'（x）y1'+c2（x）y1''將其代入方程y''+p（x）y+q（x）y=f（x），整理可得：

C2''（x）y1+（p（x）y1+2y1'）c2'（x）+（y1''+p（x）y1'+q（x）y1）c2（x）=f（x）化簡可得：c2''（x）y1+（p（x）y1+2y1'）c2'（x）=f（x）即c2''（x）+（p（x）+）c2'（x）=這是一個關于c2'（x）的一階線性微分方程，由常數變易法可得：c2'（x）=∫y1f（x）e∫p（x）dxdx

積分可得：c2（x）=∫[∫y1f（x）e∫p（x）dxdx]dx

所以y0=∫[∫y1f（x）e∫p（x）dxdx]dx是方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的一個特解。

由教材所學方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解為y=c1y1+c2y2+y0，將上邊所求的y2和y0代入有：y=c1y1+c2y2∫dx+y1∫∫y1f（x）e∫p（x）dxdxdx

即為所求的二階非齊次線性微分方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解。

定理證畢。

定理二：對二階非齊次線性微分方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x），若存在函數u（x），v（x）滿足u（x）+v（x）=p（x）且u（x）+u（x）v（x）=q（x）則方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解：y=e∫-u（x）dx[e∫u（x）dx-v（x）dx（∫f（x）e∫v（x）dxdx+c1）dx+c2]

證明將u（x）+v（x）=p（x）和u'（x）+u（x）v（x）=q（x）代入微分方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x），經過整理可得到（y'+u（x）y）'+ （y'+u（x）y）v（x）=f（x）其中令Z=y'+u（x）y，則上式可變為z'+v（x）Z=f（x）這可以看成是關于Z的一個一階線性微分方程，利用常數變易法，可求得通解為：z=e-∫v（x）dx（∫f（x）e∫v（x）dxdx+c1）

Z=y'+u（x）y變形有y'+u（x）y=Z，若Z已知，這個方程可以看成是關于y的一個一階線性微分方程，同樣利用常數變易法，可求得通解為：

將z=e-∫v（x）dx（∫f（x）e∫v（x）dxdx+c1）代入上式y=e∫-u（x）dx（∫zeu（x）dxdx+c2）可得方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解為y=e∫-u（x）dx[e∫u（x）-v（x）dx（∫f（x）e∫v（x）dxdx+c1）dx+c2]

則定理證明完畢。

二、應用舉例

若y=是微分方程y''-4xy'+（4x2-2）y=0的一個特解，求微分方程y''-4xy'+（4x2-2）y=xlnx的通解。

我們的解題過程如下：首先由定理1，令y1=，p（x）=-4x，q（x）=4x2-1，f（x）=xlnx，所求微分方程的通解為：y=c1y1+c2y2∫e-∫p（x）dxdx+y1∫[∫y1f（x）e∫p（x）dxdx]dx經過化簡可得：y=（c1+c2x+x3lnx-x3）另外，如果本題沒有已知條件，直接求微分方程y''-4xy'+（4x2-2）y=xlnx的通解，只要能找到u（x），v（x）就可以，因此我們可以借助定理2找出通解。

除此之外，如果該微分方程我們得到或觀察出對應的齊次微分方程的一個特解，也可以由定理1求其通解。

綜上所述，在微分方程中二階變系數線性微分方

程占有重要地位，關于它的通解結構，在理論上有十分完美的結論，但是除特殊的歐拉方程外求解二階變系數微分方程沒有一般的初等解法，所以對于一般的二階變系數線性微分方程：y''+p（x）y'+q（x）y=f（x），其中p（x），q（x），f（x）是已知函數且為x在區間上的連續函數，研究它的初等解法非常重要，對滿足一定條件下的二階變系數線性微分方程可采用化為恰當方程通過降階得到微分方程的通解。二階變系數線性微分方程的通解計算沒有統一的初等解法。應用上邊兩個定理時都有一定的條件限制，雖然對部分這種微分方程的通解給出了很好的計算方法和公式，但是并不是對所有的二階變系數線性微分方程適用。定理1條件是必須知道一個對應齊次微分方程的特解，但對微分方程沒有限制。相反的定理2卻對微分方程的系數做了一定的限制。我們在具體求解過程中兩個定理各有千秋，所以我們要靈活應用。我們都在定理的證明中用了兩次常數變易法，從中可以知道常數變易法對解微分方程的重要性。

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◎編輯 馮永霞