案例教學法在矩陣的秩的教學中的應用

何孝凱　胡亞輝

[摘? ? ? ? ? ?要]? 在引入矩陣的秩的定義的基礎上，討論了矩陣的秩的常用性質，然后結合兩道有一定綜合性的例題，說明在實際教學過程中如何通過適當的例題讓學生加深對矩陣的秩的性質的理解與應用.通過適當的案例講解有助于加深學生對所學高等代數內容的理解，提升課堂教學效果.

[關? ? 鍵? ?詞]? 高等代數;矩陣的秩;秩的性質;案例教學

[中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2019）22-0008-02

一、引言

矩陣的秩是大學數學專業本科階段高等代數課程的重要內容之一，對矩陣的秩的學習有助于學生加深對線性相關性和線性方程組的解的結構和性質定理的理解和應用[1-3].考慮到高等代數課程的抽象性，在實際教學過程中教師可以借助案例教學法幫助學生理解和掌握所學具體內容[4，5].對矩陣的秩這一部分內容的教授，首先應該讓學生理解矩陣的秩的定義，特別是其與線性相關性的聯系，并在此基礎上研究矩陣的秩及其應用.在本文接下來的內容中，我們將首先介紹矩陣的行秩、矩陣的列秩、矩陣的行列式秩和矩陣的秩的概念，然后給出矩陣的秩的常用性質，最后通過解決兩道有一定綜合性的例題，說明在實際教學過程中如何通過適當的例題讓學生加深對矩陣的秩的性質的理解與應用.

二、矩陣的秩的定義與性質

在本小節中，我們首先引入矩陣的秩的概念[1].

定義1：設A是m×n矩陣，則矩陣A的m個行向量組成的向量組的秩稱為矩陣A的行秩;矩陣A的n個列向量組成的向量組的秩稱為矩陣A的列秩.

定義2：設A是m×n矩陣，若A有一個r階子式不為零，而A的所有r+1階（如果存在）都等于零，則稱r為矩陣A的行列式秩.

對矩陣的行秩、列秩和行列式秩，有如下重要結果[1].

定理：設A是m×n矩陣，則A的行秩、A的列秩、A的行列式秩三者相等，統稱為矩陣的秩，記為rank（A）.

接下來我們介紹矩陣的秩的常用性質[3]，設A是m×n矩陣，B是n×s矩陣.

性質1：rank（A）≤min{m，n}.

性質2：rank（AB）≤min{rank（A），rank（B）}.

性質3：rank（AB）≥rank（A）+rank（B）-n.

性質4：rank（A+B）≤rank（A）+rank（B）.

性質5：若rank（A）=n，則rank（AB）=rank（B）;

若rank（B）=n，則rank（AB）=rank（A）.

性質6：若A是實矩陣，AT是A的轉置矩陣，則

rank（A）=rank（AT）=rank（AAT）=rank（ATA）.

性質7：若A是復矩陣，A是A的復共軛矩陣，A*是

A的轉置共軛矩陣，則rank（A）=rank（A）=rank（A*）=rank（AA*）=rank（A*A）.

三、實例教學

在本小節中，我們將應用案例教學法，通過求解一道具體的例題加深學生對前述矩陣的秩的理解.

例1.已知矩陣B是定義在實數域上的特征值非負的對稱的6×6矩陣且rank（B）=5，矩陣D=（α1 α2 α3 α4）是6×4矩陣且rank（D）=4.令ξ=α1+α2+α3+α4，若Bξ=0，求證rank（DTBD）=3.

證明：由于矩陣B是定義在實數域上的特征值非負的對稱的6×6矩陣且rank（B）=5，從而存在正交矩陣P使得

B=PTλ1 λ2? λ3? ?λ4? ? λ5? ? ?0P。

引入矩陣=? 0? ? 0? 0? 0? 0 0 ?0? 0? 0? 0 0? 0 ?0? 0? 0 0? 0? 0 ?0? 0 0? 0? 0? 0 ?0，

以及C=P，

則rank（C）=5，且B=CTC.設R=1 0 0 01 1 0 01 0 1 01 0 0 1，則

D1=DR=（α1? α2? α3? α4）1 0 0 01 1 0 01 0 1 01 0 0 1=（ξ α2? α3? α4）。

根據秩的性質5，我們有

rank（DTBD）=rank（RTDTBDR）=rank（DT1BD1）=

rank（DT1CTCD1）.

欲證rank（DTBD）=3，只需證明rank（DT1CTCD1）=3.

根據秩的性質6，

有rank（DT1CTCD1）=rank（（CD1）TCD1）=rank（CD1）.

故只需證明rank（CD1）=3.直接計算可得

CD1=C（ξ α2 α3 α4）=（0 Cα2 Cα3 Cα4）

注意到rank（B）=5及Bξ=0，可知BX=0的解空間是1維的且Bα2，Bα3，Bα4線性無關.又B=CTC且rank（C）=5，故Cξ=0且Cα2，Cα3，Cα4線性無關，所以rank（CD1）=3證明完畢.

在課堂講授此例題時，要特別強調題目中的非負特征值條件是必不可少的.當出現負特征值時，矩陣CD1是復矩陣，根據秩的性質7，

rank（（CD1）TCD1）=rank（CD1）

一般不再成立.在此處可以讓學生深刻體會處理復矩陣時要注意到

rank（（CD1）*CD1）=rank（CD1）.

為進一步加深學生對矩陣的秩的其他性質以及對線性相關性的理解，在實際教學過程中可進一步講解如下例題.

例2.設B是一個n×n實對稱矩陣，D=（α1 … αm）是一個n×m矩陣，且rank（B）=n-1，rank（D）=m，Bξ=0（ξ≠0）且ξ∈span{α1，…，αm}.求證rank（BDDT）=m-1

證明：因為rank（D）=m，故α1，…，αm線性無關，從而存在唯一的一組不全為零的數c1，…，cm使得ξ=c1α1+…+cmαm.不失一般性，可設c1≠0.令

R=c1 0 … 0c2 1 … 0…? …? … 0cm? …? … 1，

則rank（R）=m.根據秩的性質5，有rank（BDDT）=rank（BD）=rank（BDR），而

BDR=B（ξ α2 … αm）=（0 Bα2 … Bαm）

故有rank（BDDT）=rank（BDR）≤m-1.另一方面，根據秩的性質5和性質3，有

rank（BDDT）=rank（BD）≥rank（B）+rank（D）-n=m-1

從而可得rank（BDDT）=m-1證明完畢.

四、小結

本文討論了高等代數的重要教學內容之一的矩陣的秩，我們首先引入了矩陣的秩的定義，然后討論了矩陣的秩的常用性質，并特別指出了復矩陣的秩的一個重要性質.最后結合兩道有一定綜合性的例題，說明實際教學過程中如何通過適當的例題讓學生加深矩陣的秩的性質的理解與應用.在高等代數的其他內容的教學上，案例教學法也是非常有效的，通過適當的案例講解，有助于加深學生對所學數學內容的理解，提升課堂教學效果.

參考文獻：

[1]北京大學數學系前代數小組.高等代數（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]丘維聲.高等代數[M].北京：科學出版社，2013.

[3]姚慕生，吳泉水，謝啟鴻.高等代數學（第三版）[M].上海：復旦大學出版社，2014.

[4]張奠宙，宋乃慶.數學教育概論[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5]鄭金洲.教學方法應用指導[M].上海：華東師范大學出版社，2006.

◎編輯 趙瑞峰