數學文化視角下高考數學問題研究

☉江蘇省南通市小海中學 孫德泉

2017 年高考數學大綱明確提出了數學文化這一考點，全國多個地區高考數學題目涉及了數學文化問題，并且這類問題，在高考數學中涉及的題型較多，所占的分值也較高.在高考數學中涉及數學文化類的問題主要包含數學與生活、數學與人文、數學與科技、數學與數學史等，能夠符合不同學生的興趣，極大地提高了學生對數學的學習興趣.將數學文化融入高考數學當中，其中涉及的一些數學知識是對我國傳統文化的一種傳承，讓學生了解我國古人的智慧.將數學文化融入高考數學當中，既是教育改革的需要，也是發展與傳承數學文化的重要途徑.

一、數學文化視角下高考數學題目知識特點

總體上來說，高考數學問題中涉及的數學文化知識主要包含數學與生活、數學與人文、數學與科技、數學與數學史等，通過對近些年高考數學問題中涉及數學文化的考題的整理發現，該類考題涵蓋了高考數學中的選擇題、填空題和解答題，其中選擇題和填空題所占比例較高.在2015 年高考數學題目中，湖北理科數學試卷就有3 個問題涉及了數學文化，其中選擇題一個，解答題兩個，都是以直接呈現數學文化的形式出現的，其中選擇題第2 題以“米谷粒分”問題為文化背景，結合代數相關知識構成了數學問題.第19 題和21 題，分別以“陽馬和鱉臑”和“舒騰的橢圓規”為文化背景，結合立體幾何和解析幾何的知識構成了數學問題.全國Ⅰ卷的選擇題第6 題以“為米幾何”為文化背景，結合圓錐體積公式構成了數學考題，第20 題解答題以“阿基米德三角形”為文化背景，結合解析幾何構成了數學考題.隨著教育改革的實施，以數學文化為背景的高考數學題不斷涌現，在2017年的高考數學試題中，全國卷均出現了以數學文化為背景的數學考題.其中“太極圖”與概率問題相結合；“印度國王的棋盤搗鼓問題”、“算法統宗”與數列相結合，構成了該年高考數學的部分選擇題.同年，江蘇省理科數學試題中，更是涉及了4 道以數學文化為背景的考題，其中有3 道均為解答題，它們分別是以“蝴蝶定理與四點共圓”的數學史與解析幾何相結合；“P（k）數列”的人文類與數列相結合；“柯西不等式”的數學史與不等式部分知識相結合，組成了17、19、21 三個解答題.

通過對近些年高考數學試題中涉及數學文化的問題研究來看，主要以數學與數學史領域的文化背景為主，占到了接近半數，其次是數學與科技、數學與生活.在知識點的結合處，主要以與數與代數部分知識相融合的部分較多，其次是圖形與幾何、統計與概率.

二、數學文化視角下高考數學題目知識分類

1.數學與數學史類

數學史是數學文化的重要組成部分，是高考數學題目中涉及數學文化類題型的主要組成形式，其中包含數學家的故事，數學史上的重大事件和歷史上的經典數學問題.通過對近些年數學文化類考題的統計分析來看，阿基米德、楊輝、歐拉等是以歷史名人所創造的定理為背景而設計的數學題的主要人物，《九章算術》、《算法統宗》是歷史著作當中出現次數最多的數學史類問題.

例1（2017 年高考數學理科全國卷Ⅱ第3 題）在我國古代數學著作《算法統宗》當中記載著這樣一個問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”該詩句的意思是：在一個七層的燈塔上總共有381盞燈，相鄰的兩層燈塔中，下一層燈塔燈的數量是上一層燈的兩倍，那么該燈塔的最高層有燈（ ）.

A.1 盞 B.3 盞 C.5 盞 D.9 盞

問題分析：該題目是一道簡單的等比數列求和問題，題目中以《算法統宗》這一數學著作為文化背景，改變了傳統題目中生硬的解題模式，無形之中給學生滲透了數學文化素養.該題目將古代數學名著展現在高考數學題目當中，體現出了數學源于生活，代代相傳的理念.

2.數學與人文類

數學給人的印象就是嚴謹、嚴肅，并沒有什么美感可言，其實，數學也具有它的藝術性，也是浪漫文藝的，它能夠通過語言文學、美術、音樂、建筑等方面來展示自身的藝術.在高考數學試卷中，設置數學與藝術相結合的數學問題，能夠改變學生對數學的認識，增加數學學習的興趣，為后期的數學人才培養奠定基礎.

例2（2017 年高考數學理科全國卷Ⅰ第3 題）圖1中所示為我國古代的太極圖，該太極圖處在正方形ABCD中，正方形ABCD的內切圓的黑色部分與白色部分以正方形的中心成中心對稱圖形，現在正方形內隨機選一點，該點恰好選中黑色部分的概率是（ ）.

圖1

問題分析：該數學題是一道幾何概型問題，主要考查圖形對稱性.太極圖在我國傳統文化中占有重要的地位，它象征著無限的生生不息的宇宙，蘊含著相生相克的哲學原理，象征著自然界中的四季交替.題目引入太極圖形，道出了世間萬物運轉之道，不僅考查了數學知識，也是對我國傳統文化的一種繼承和發揚.

3.數學與生活類

數學與生活實踐相結合是數學教學的出發點和歸宿，數學源于生活又服務于生活，高考數學與生活相結合類題型主要以數學文化在生活中的體現為主，涵蓋了個人生活和社會生活兩個方面.

例3（2015年高考數學湖北理科第2 題）我國古代數學名著《數學九章》中有著“米谷粒分”的問題：國家糧倉開倉收糧，有一地方送來1534石米，通過倉管的檢驗，發現米中夾雜著谷子，在隨機抽取一把米的時候，發現254粒米中夾著谷28粒，那么這一批米中夾雜谷子約為（ ）.

A.133 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石

問題分析：該題的數學文化背景選自《數學九章》，其中的故事涉及了現實生活中的問題，就將它歸納到數學與生活類.該題主要考查的是隨機抽樣的相關知識，難度較低.學生在解決完問題后，不僅能夠獲得解題喜悅，還能夠了解我國古人如何來檢驗米谷是否合格，體現了我國古人的智慧.

4.數學與科技類

數學與科技類相融合的問題主要包括數學與生物學、地球與環境、前沿科學等問題相結合，通過數學與科技相結合，能夠體現出數學在科技發展中的重要地位，提高學生對數學的重視度，其中“費馬點”就是一個很好的例子.

例4（2017 年高考數學北京理科卷中的第8 題）據相關資料記載，圍棋的空間復雜程度的上限M為3361，在宇宙中客觀存在的普通物質的原子總數N 為1080，那么下列選項中與數值最接近的是（ ）.（參考數據：lg3≈0.48）

A.1033B.1053C.1073D.1093

問題分析：本題將天文方面的知識與數學對數方面的知識相結合，學生在做這道題的時候，在考查自身知識點的同時，還體會到了數學的神奇和偉大，從而激發自身今后學習數學的興趣.

圖2