多元表征理論的實(shí)踐與探索
——以數(shù)列教學(xué)為例

☉江蘇省常熟市梅李高級(jí)中學(xué) 周志杰

所謂表征，就是指外界輸入的信息在主體心理活動(dòng)中的記錄和作用形式，學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)上就是學(xué)生對(duì)于知識(shí)這一外界輸入產(chǎn)生對(duì)應(yīng)心理表征的過(guò)程，是一個(gè)主觀與客觀結(jié)合的過(guò)程.本文中筆者將結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，以數(shù)列的概念和表示方法相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)為例，與各位讀者分享自己在多元表征理論的指導(dǎo)下開展教學(xué)的方法策略與心得體會(huì).

一、多元表征理論的內(nèi)涵及教育價(jià)值

所謂表征，就是指外界輸入的信息在主體心理活動(dòng)中的記錄和作用形式，即外界事物的心理重現(xiàn)，是認(rèn)知心理學(xué)中的一個(gè)非常重要的概念，它是人的內(nèi)在心理世界與外部客觀世界的有機(jī)融合產(chǎn)物，一方面，能夠反映客觀事物的特征；另一方面，體現(xiàn)了心理過(guò)程的加工作用.教師需要認(rèn)識(shí)到，學(xué)生不是計(jì)算機(jī)，不能將知識(shí)完全一致地記錄下來(lái)，學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)上就是學(xué)生對(duì)于知識(shí)這一外界輸入產(chǎn)生對(duì)應(yīng)心理表征的過(guò)程，是一個(gè)主觀與客觀結(jié)合的過(guò)程，教師可以做的是設(shè)計(jì)信息輸入的方式，以及引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生正確的心理表征.因?yàn)閿?shù)學(xué)概念的心理表征往往包含著不同方面的成分，具有鮮明且豐富的層次性，教師只有注意到其多元性，從多種角度進(jìn)行教學(xué)，而不是片面強(qiáng)調(diào)單一特征，學(xué)生才能更為深刻并全面地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念，才能在應(yīng)用時(shí)更加靈活.

由于強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的心理活動(dòng)在學(xué)習(xí)過(guò)程中的作用，所以多元表征理論突出了學(xué)生的主體性，它指導(dǎo)教師從學(xué)生的角度去思考問(wèn)題，以適應(yīng)于學(xué)生思維和認(rèn)知特點(diǎn)的方式展開教學(xué)，并給學(xué)生自主探索和感悟的機(jī)會(huì)，教師應(yīng)嘗試?yán)脠D、表、表達(dá)式等各種表現(xiàn)形式讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)概念表現(xiàn)形式的多樣性，創(chuàng)設(shè)更加多元豐富的教學(xué)情境，從不同角度刺激學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生自主探索數(shù)學(xué)世界的欲望.

二、讓學(xué)生在實(shí)例中感悟數(shù)列概念的基本特征

在正式介紹數(shù)列的概念之前，筆者先篩選出了大量實(shí)例幫助學(xué)生對(duì)概念的特征有一個(gè)初步的感知，學(xué)生在觀察和研究實(shí)例的過(guò)程中得以產(chǎn)生內(nèi)生式的認(rèn)知，這有利于激發(fā)學(xué)生的探索欲望和研究興趣，能夠鍛煉學(xué)生的觀察和總結(jié)能力，同時(shí)可以增強(qiáng)學(xué)生的課堂參與度，為學(xué)生留下了自由探索的空間，從而突出了學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生的主體地位，下面是筆者當(dāng)時(shí)的教學(xué)片段.

1.實(shí)例引入

案例1儒家名著《莊子》中有一段話的意思是：對(duì)于一根長(zhǎng)為一尺的木棍，如果每天取走剩下部分的一半，將永遠(yuǎn)也取不凈.如果將一尺作為單位長(zhǎng)度1，那么按照這段話的意思，每日剩余部分的長(zhǎng)度將會(huì)是

案例2三角形數(shù)是一類神奇的數(shù)，如果某一數(shù)目的點(diǎn)能夠在等距離排列的情況下組成一個(gè)等邊三角形，那么這一數(shù)目就是三角形數(shù)，從初始情況開始列舉，它們是1，3，6，10，……

案例3從1984 年洛杉磯奧運(yùn)會(huì)到2016 年里約奧運(yùn)會(huì)，一共舉辦了九次奧運(yùn)會(huì)，中國(guó)在這九次奧運(yùn)會(huì)中獲得的金牌數(shù)目分別是15，5，16，16，28，32，51，37，26.

案例4無(wú)理數(shù)按1，0.1，0.01，0.001，……的精度分別取值的結(jié)果為1，1.4，1.41，1.414，……

2.師生互動(dòng)

師：上面給出了不同背景下的四組數(shù)字，你們能不能概括一下它們的共同點(diǎn)？

生A：它們都具有一定的規(guī)律性，比如案例1 中的數(shù)字，后一個(gè)數(shù)字是前一個(gè)數(shù)字的一半.

生B：不對(duì)，第三組數(shù)字感覺(jué)沒(méi)什么規(guī)律.

師：那么生A，你能解釋一下你說(shuō)的規(guī)律性具體是什么含義嗎？

生A：剛才可能觀察得還不夠到位，我覺(jué)得有規(guī)律性概括來(lái)說(shuō)，就是可以見微知著，我們只需要知道前幾個(gè)數(shù)字就可以推斷出后幾個(gè)數(shù)字是多少.

師：那么生B，你覺(jué)得第三組數(shù)字沒(méi)有規(guī)律可言，這又是為什么呢？

生B：我認(rèn)同生A 的說(shuō)法，在第三組數(shù)字中我們沒(méi)辦法根據(jù)前面的數(shù)字推斷出后面的，因?yàn)槿绻沁@樣的話，我們豈不是可以預(yù)知未來(lái)？推斷出2020 年甚至100年后的獲獎(jiǎng)情況？

師：很好，那么如果說(shuō)規(guī)律性并不是這些數(shù)字的共同特征，你們能再概括一下這些數(shù)字的共性嗎？試著從次序的角度考慮一下，比如說(shuō)如果調(diào)換每組數(shù)字里某些數(shù)字的順序，這組數(shù)字還能表達(dá)同樣的意思嗎？

生C：不可以隨意調(diào)換，比如在第三個(gè)例子中如果把第一個(gè)數(shù)字和第二個(gè)數(shù)字交換順序，那么代表的意思就完全不一樣了.

師：的確，其實(shí)我們就可以把數(shù)列看成是一列有順序的數(shù)，那么你們覺(jué)得1，3，5，7 和1，5，7，3 是數(shù)列嗎？它們是同一個(gè)數(shù)列嗎？

生D：這兩者都是數(shù)列，但是它們數(shù)字的順序不一樣，所以不是同一數(shù)列.

師：沒(méi)錯(cuò)，這個(gè)例子說(shuō)明就算兩個(gè)數(shù)列中的元素一樣，但只要排列順序不一樣，它們就不是同一個(gè)數(shù)列.那么1，1，1，1 和1，-1，1，-1 是數(shù)列嗎？

生E：一列有順序的數(shù)，它們滿足數(shù)列的定義，所以是.

師：由此也可以推斷出在同一數(shù)列中可以出現(xiàn)重復(fù)的數(shù)字.

3.教學(xué)總結(jié)

學(xué)生在剛開始學(xué)習(xí)新知識(shí)的時(shí)候，教師提供的例題具有很強(qiáng)的引導(dǎo)作用，在多元表征理論的指導(dǎo)下，教師需要精心選擇涉及的例題，使得例題能從多方面刺激學(xué)生的認(rèn)知，比如，在上述教學(xué)案例中，筆者就綜合選擇了有規(guī)律的數(shù)列、無(wú)規(guī)律的數(shù)列、有重復(fù)數(shù)字出現(xiàn)的數(shù)列、有限的數(shù)列和無(wú)限的數(shù)列等例子，讓學(xué)生在沖突和反思中逐漸弄清數(shù)列的本質(zhì)內(nèi)涵.

三、用多種形式表現(xiàn)數(shù)列，深化學(xué)生對(duì)數(shù)列概念的理解

數(shù)列是一列有順序的數(shù)，一般來(lái)說(shuō)，它的表現(xiàn)形式也是一列數(shù)，但是在部分實(shí)際應(yīng)用中，學(xué)生僅通過(guò)這樣的形式很難靈活地進(jìn)行思維轉(zhuǎn)換，因此教師應(yīng)該嘗試讓學(xué)生接觸數(shù)列的多種表現(xiàn)形式.

教學(xué)情境

師：數(shù)列的一般表現(xiàn)形式是一列數(shù)，可以簡(jiǎn)寫為{an}，它精簡(jiǎn)地表達(dá)出了數(shù)列的內(nèi)涵，但對(duì)于某一具體的數(shù)列，簡(jiǎn)單的羅列并不是最佳的表現(xiàn)形式，你們還能給出其他的表現(xiàn)形式嗎？（接下來(lái)讓學(xué)生通過(guò)分組討論的形式進(jìn)行自主探討，最后以小組為單位進(jìn)行展示分享）

學(xué)生經(jīng)過(guò)初步討論得出了以下兩種結(jié)果.

師：這兩種方法都是好辦法，第一種方法非常直觀地展現(xiàn)了數(shù)列中項(xiàng)的分布情況，第二種方法清晰地展現(xiàn)了數(shù)列序號(hào)與項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，但是老師覺(jué)得這兩者都有一定的不足，你們能說(shuō)說(shuō)看嗎？

生F：第一種方法雖然直觀形象但其實(shí)并不準(zhǔn)確，因?yàn)樗鼰o(wú)法體現(xiàn)數(shù)列的順序性，0，2，4，6，8 和8，6，4，2，0這兩個(gè)不同的數(shù)列按照這種方法的表現(xiàn)形式卻是一樣的，至于第二種方法要說(shuō)不足的話，可能是它相對(duì)來(lái)說(shuō)沒(méi)有那么直觀吧.

師：很好，既然如此，我們可以試著將兩種方法結(jié)合起來(lái)嗎？

生G（經(jīng)過(guò)思考）：我們可以在第一種方法的基礎(chǔ)上增加一個(gè)維度來(lái)表示數(shù)列的序號(hào)，變成一個(gè)平面直角坐標(biāo)系.

師：很好，那么你們能嘗試作出數(shù)列2，4，6，8 對(duì)應(yīng)的圖像嗎？

學(xué)生的成果如圖1：

圖1

師：非常棒，那么觀察圖像，你們覺(jué)得它和我們之前學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)有沒(méi)有相似之處呢？

生H：這有點(diǎn)像函數(shù)的圖像，但是這個(gè)圖像都是分散的點(diǎn)，函數(shù)的圖像是曲線.

生I：其實(shí)如果把函數(shù)的定義域限定在分散的區(qū)域，那么函數(shù)的表現(xiàn)形式也是這樣，比如，我們可以令定義域?yàn)镹*.

師：那你們可以建立一個(gè)函數(shù)關(guān)系式嗎？并指出這個(gè)函數(shù)的自變量和因變量分別是什么.

生J：這個(gè)函數(shù)應(yīng)該是an=2n（n∈N*），這個(gè)函數(shù)中的自變量應(yīng)該是數(shù)列的序號(hào)n，因變量是對(duì)應(yīng)的數(shù)列項(xiàng)的值.

學(xué)生在這樣的過(guò)程中接觸到了表、圖、數(shù)學(xué)表達(dá)式等多種數(shù)列的表現(xiàn)形式，從而形成了各種不同的心理表征并在它們之間建立了聯(lián)系，這可以幫助學(xué)生在不同的情景下靈活地應(yīng)用數(shù)列的知識(shí).