淺析第二次數學危機

袁田　王琴　李本雄

摘 要 18世紀，英國貝克萊大主教抓住了當時微積分中一些不合邏輯的問題，由此引起了數學界長達一個半世紀的爭論，造成第二次數學危機。第二次數學危機是圍繞微積分誕生初期的基礎定義展開的一場曠日持久的爭論。

關鍵詞 第二次數學危機 牛頓 貝克萊悖論 極限理論

中圖分類號：O172.1文獻標識碼：A

1第二次數學危機及其產生背景

第二次數學危機發生在牛頓創立微積分的17世紀。第一次數學危機是由畢達哥拉斯學派內部提出的，第二次數學危機則是由牛頓學派的外部，甚至是數學家群體的外部提出的，是對牛頓“無窮小量”說法的質疑引起的。

牛頓的微積分是一項劃時代的科學成就，但也有邏輯上的問題。我們先從一個例子看看，第二次數學危機是如何引發的。在牛頓之前，人們只能求物體在一段時間內的平均速度，無法求物體的某一時刻的瞬時速度。

我們以自由落體運動為例，來看看牛頓的思考。

設自由落體在時間t下落的距離為S（t），則有S（t） = gt2其中g為重力加速度，求物體在t0時刻的速度。

分析：先求在[t0，t1]這段時間內速度的平均值，用下落距離的改變量除以時間的改變量。

推導如下，取一段時間[t0，t1]，

S= S（t1）? S（t0） = gt12? gt02

= g[（t0 +t）2? t02] = g[2t0 t+（ t）2]

∴ =? gt0 + g（ t）

將上式記為（*）式。

這個（*）式右邊有兩項，一項是gt0，它是不依賴于時間的改變量，另一項是g（ t），它是依賴于時間的改變量。

牛頓考慮：當 t越小的時候，這個平均速度就越接近物體在時間t0這個時刻的瞬時速度;如果讓 t變成無窮小量，那么這個平均速度就成為物體在t0時刻的瞬時速度了呢？而當 t變成無窮小量的時候，右端的g（ t） 也變成無窮小量。因而，（*）式右端可以認為就是gt0。gt0就是物體在t0時刻的瞬時速度。

由于時間的改變 t為無窮小量時，距離的改變 S也是無窮小量，因此牛頓認為瞬時速度是兩個無窮小量（）的比。牛頓的這個方法很好用，解決了大量過去無法解決的問題，因此微積分的方法被廣泛接受，并得以迅速推廣。

但是牛頓的理論在邏輯上不嚴格，遭到了責難。英國大主教貝克萊發表文章，對牛頓的理論進行猛烈攻擊。貝克萊質問，這個無窮小量 t作為一個量，究竟是不是零？在牛頓的推導中，有邏輯上的問題。在（*）式 = gt0 + g（ t）中，如果無窮小量是零，那么（*）式的左端中分母就沒有意義;如果無窮小量 t不是零，那么右端就不能把g（ t）任意去掉，變成gt0。

貝克萊還質疑，在推出（*）式，假設的前提是 t不等于零，才能作除法。他指出這種方法很荒謬，還反唇相譏，既然 t和 S都變成無窮小量，而無窮小量作為一個量，既不是零又不是非零，那它就是量的鬼魂。這就是著名的“貝克萊悖論”。這一悖論的發現，在當時引起了一定的思想混亂，導致了數學史上的第二次危機，引起了持續200多年的微積分基礎理論的爭論。

2第二次數學危機的實質及解決

第二次數學危機的實質，是“極限”的概念不清楚，極限的理論基礎不牢固。也就是說微積分理論缺乏邏輯基礎。牛頓曾說明“最終的比”，分母、分子要成為零還不是零時的比，比如 = gt0 ，不是最終量的比，而是比最終趨于的極限。牛頓雖然提出和使用了極限這個詞，但是并沒有在嚴格意義下，說清楚這個詞的意思。德國數學家萊布尼茨雖然也同時發明微積分，但是也沒有明確給出極限的定義。正因為如此，此后一百多年間的數學家都無法滿意解釋貝克萊提出的悖論。由無窮小量引發的第二次數學危機，實質上是缺少嚴密的極限概念和極限理論作為微積分學的邏輯基礎。

隨著時間的推移、微積分研究范圍的擴大，微積分中類似的悖論日益增多。數學家在研究無窮級數的時候做出了很多錯誤的證明，從而得到了很多錯誤的結論。比如對于1+（-1）+1+（-1）…的和，數學家也爭論不休。

進入19世紀時，為微積分奠定一個嚴格的理論基礎已成為亟待解決的問題。這需要建立嚴格的極限理論和實數理論。嚴格的極限理論的建立經歷了一個逐步的、漫長的過程。在18世紀，人們建立了極限理論，但那只是一個粗糙的理論。達朗貝爾在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當時使用的粗糙的極限理論。但他本人沒能提供這樣的理論。19世紀初，捷克數學家波爾查諾開設將嚴格的論證引入數學分析。他寫的《無窮的悖論》一書中，包括很多真知灼見。法國數學家柯西在1821年-1826年間出版的《分析教程》、《無窮小計算講義》，是數學史上劃時代的著作。他對極限給出比較精確的定義，然后用它定義連續、導數、微分、定積分和無窮級數的收斂性，建立起以極限為基礎的現代微積分體系。

現在再回到（*）式 = gt0 + g（ t） （ t≠0）。

瞬時速度定義為上述平均速度當 t趨于0時的極限。

物體在t0 時刻的瞬時速度 =? 。

對（*）式兩端同時取極限：

=? ?gt0 + g（ t）

=? gt0 + g（ t）

第一個極限不依賴于 t，就是gt0，第二個極限當 t趨于0時，極限就是0，得到：

= gt0 + 0

= gt0

上述所得的結論與牛頓原先的結論是一致的，在時刻t0的瞬時速度都是gt0，但現在的每一步都有了嚴格的邏輯基礎。“貝克萊悖論”的焦點“無窮小量 t是不是0”，在這里給出了明確的回答： t≠0。確切的說，無窮小量是極限為0的變量。貝克萊悖論中的無窮小量 t極限為0，但是 t自己可以不等于0。這樣，通過建立起嚴格的極限理論，貝克萊悖論在經歷了200年后終于被消除了。

參考文獻

[1] 歐陽耿.重新認識第二次數學危機[J].喀什師范學院學報，2002（05）.