函數極限的幾種常用求法

楊丹　李本雄　張敏

摘 要 函數極限是微積分知識的基礎，是微積分學中各種計算方法和概念得以應用與建立的前提，其應用也十分廣泛。但函數極限種類繁多，在實際解題中容易出錯。因此，本文詳細的闡述了函數極限的幾種常用方法，而且把每一種方法的特點及注意事項作了詳細重點說明，并以實例加以解釋。

關鍵詞 函數極限 求解方法

中圖分類號：G712文獻標識碼：A

函數極限理論是微積分的重點，同時函數極限也為微積分的發展奠定基礎，這部分內容的掌握直接影響到后面導數和積分的學習。下面對求函數極限的幾種常用方法進行總結，并分別輔以例子加以解釋，使學生能夠更靈活的運用這些方法來求極限。

1四則運算法則法

定理：設則

（1）;

（2）;

特殊地，設為常數，則

。

（3）

推廣：

（1）有限個函數之代數和的極限等于各個函數的極限之代數和;

（2）設，則。

（3）設為常數，則。

利用函數的四則運算法則對有理函數及有理分式函數求極限。這是極限運算中，算常見的方法，不過要著重強調運算法則中的充分非必要條件（分母不為零），所以，在運用這種方式解題時，要對每個已知條件進行驗證。

例1：求極限。

解：

2兩個重要極限公式法

兩個重要極限是和。利用兩個重要極限公式來求函數的極限時，要對函數形式仔細觀察，只有形式符合或經過變形后符合這兩個重要極限的形式才能運用此公式法來求極限，如、、。一般常用的方法是換元法和配指數法。

例2：求極限。

分析：是型的未定式且式中含有正弦函數，但分母和分子中方框沒代表同一量，須變為相同。

解：。

例3：求極限。

分析：不能直接利用重要極限，先要化簡。將其底變為“1+無窮小”，（中間必須是“+”），而指數為無窮小的倒數。

解：

。

3運用無窮小量求極限

無窮小量在求解函數極限中主要有三種應用：一是利用無窮小的定義、二是利用“有界無窮小”性質、三是使用等價無窮小代換法求極限。

例4：求極限。

解：將分子分母分別提取，從而有

例5：求極限

解：當時，是有界變量（因為），且為當時的無窮小量，根據有界變量與無窮小的乘積仍是無窮小的性質得

。

例6：求極限

解：當時，，所以

.

4運用洛必達法則求極限

在函數極限問題的求解中，洛必達法則多用來求未定式極限，要求在點的空心鄰域內兩者都可導，且作分母的函數的導數不為零。在求函數極限時，對于型或型未定式，以及像型、型、型、型型等利用取倒數，通分或取對數的方法轉化為或型未定式。這時，如函數極限的四則運算法則不適用，但極限仍可能存在，求這類未定式極限的有效方法就是洛必達法則。但并不是所有的或型未定式都能利用洛必達法則求極限，若無法斷定的極限狀態或能斷定它振蕩而無極限，則洛必達法則失效，這是函數極限存在的充分條件，值得注意的是洛必達法則可循環使用。

例7：求極限。

解：這是型未定式，運用洛必達法則

。

利用洛必達法則求極限，由于分類明確，規律性強，且可連續進行運算，可以簡化一些較復雜的函數求極限的過程，但運用時需注意條件。

5利用夾逼定理計算函數極限

利用夾逼定理計算函數極限，基本定理為：若對于的某去心鄰域內的一切，都有，且，則。

若函數極限不容易通過直接的計算方式獲取，我們可以考慮適當的將極限的變量放大或縮小，要求放大或縮小后的極限容易求出，此時常將其放大到最大項的整數倍，縮小到最小項的整數倍，但是要保證放大或縮小之后，所獲取的極限值與原有極限值相同，即兩者是等價無窮小，這樣便可以有效的實現等價計算。

本文總結了求函數極限的幾種常用方法。如能熟練掌握本文總結的幾種方法，已經能夠對函數極限的求解問題有一個較全面和深刻的認識，也能夠解決一大部分函數極限求解問題。

參考文獻

[1] 劉金舜，羿旭明.高等數學教程[M].科學出版社，2013.