奇數階帶分布時滯微分方程最終正解的存在性

趙環環,劉有軍

(山西大同大學 數學與統計學院, 山西 大同 037009)

近年來,高階中立型微分方程與其所對應的不等式最終有界正解的存在性受到了許多學者的關注,得到了一些較好的研究成果。2004年,歐陽自根等[1]研究了奇數階中立性微分方程

和相對應的不等式

得到了它們存在最終正解的充要條件。

2013年,劉有軍等[2]研究了偶數階帶分布時滯微分方程

和相對應的不等式

得到了它們存在最終正解的充要條件(這里n為偶數)。

從上述方程的不斷發展過程和其證明過程可以看出,學者們對這類方程討論時,將方程的階數分奇偶來分別討論,并且在證明過程中所用的方法差異很大,本文通過對文獻[1-2]認真研讀和詳細分析后,將方程的階數由偶數改為奇數,利用新的引理,克服了在算子構造上的困難,同樣得到了它們最終正解存在的充要條件。為了相關工作,還認真查閱了關于非振動解存在性的著作和論文，如文獻[3-8]。

本文考慮奇數階帶分布時滯微分方程

(1)

和相對應的不等式

(2)

(1)這里n=2k+1,k≥1是一個正整數, 0

(2)r∈C([t0,),R+),r(t)>0,p∈C([t0,)×[a,b],R+),q∈C([t0,)×[c,d],R+);

(3)f(u)是關于u的單調不減的實函數, 且有uf(u)>0。

定義1若方程(1)的一個解有任意大的零點,則稱其為方程(1)的振動解；否則,稱之為非振動解。

定義2 若x(t)是方程(1)的解, 且存在充分大的T>t0,當t≥T時,x(t)≥0,則x(t)為方程(1)的一個最終正解。

(3)

證明本引理的證明過程和文獻[2]中引理1的證明十分相似,在這里不再贅述。證畢。

定理1設引理1的所有條件都成立, 且滿足條件(H)p(t,r)+q(t,σ)>0, 對充分大的t, 則方程(1)存在最終有界正解的充要條件是不等式(2)存在最終有界正解。

對(2)式從t到積分, 得y(n-1)()用(3)式, 有重復以上步驟n-1次, 再用到(3)式, 可得

用Toneelli's定理,交換積分次序, 得

即

(4)

選取T≥0, 使得(3)式成立, 且x(t-u)>0,t≥T。下面考慮函數集

Ω={z∈C([T-μ,),R+):0≤z(t)≤1,t≥T-μ}

且定義Ω上的算子S如下:

易知S是連續的。 由(4)式容易看出S是從Ω到Ω的一個映射, 對于任意的z∈Ω,都有(Sz)(t)>0,T-μ≤t

所以ω(t)≥0,t≥T是(1)式的一個非負解。

下面證明ω(t)>0,t≥T-μ, 否則設存在t*≥T, 使得ω(t)>0,T-μ≤t≤t*, 且ω(t*)=0。則

這暗含著p(t*,r)≡0,q(s,σ)f(ω(s-σ))≡0,這與(H)矛盾。 因此ω(t)是方程(1)的一個最終有界正解, 證畢。