捕捉生成：開放式教學的課堂關鍵
——以拋物線背景下的專題復習課為例

江蘇省泗陽縣眾興中學 周同虎

中考復習階段，以二次函數的圖像（拋物線）為背景的綜合題困擾著很多學生，也是專題復習的一個熱點課題.本文整理近期開設的一節以拋物線為背景的綜合題專題復習課，記錄課例的打磨過程，并跟進反思，供研討.

一、以拋物線為背景的專題復習課例概述

說明：為了有助于更多年輕教師看到課例的原貌與打磨后的課堂記錄，我們將一些備課初稿一并呈現，并簡述組內打磨意見，再記錄課堂生成的一些片段.

問題1：如圖1，已知直線與拋物線相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點.求：

圖1

（1）x1x2；

（2）y1y2.

組內打磨：這是封閉式問題，可以改為開放式問題，請同學們提出兩個問題，并解答；然后小組內交流，再全班匯報.教師要充分預設學生可能提出的問題，不只是“（1）x1x2；（2）y1y2”，如果學生沒有提到這兩個乘積式，教師可通過追問，引導學生得出這兩個乘積式.這個環節，預計學生獨立思考3分鐘，小組交流2分鐘，全班匯報，教師追問或點評5～8分鐘，預計13分鐘以內.

打磨后課堂實錄：

師：同學們根據問題1的“題干”，能設計出哪些題目？請以小組為單位，看哪個小組設計得又多又好，并能說出其解法.

教師查看每個小組的活動情況，并由學生將小組內不同的問題呈現到黑板上.

生1：①求A、B兩點的坐標；②求AB的長；③求S△ABO；④求∠AOB的度數.

師：很好，請同學們分別說出這些問題的解決方法.

生2：對于①，聯立方程得一元二次方程.求出點A（3，1）、B（-27，81）.對于②，用距離公式求出AB的長.對于③，用割補法，可以用鉛直高乘水平寬，或者補成梯形，用梯形面積減去兩個直角三角形的面積.對于④，∠AOB的度數為90°，由點A（3，1）、B（-27，81）可以求出OB2、OA2、AB2，則OB2＋OA2=AB2，從而得到∠AOB=90°.

師：同學們回答得都很好，老師這兒有兩個問題：求x1x2和y1y2，同學們能求出來嗎？

生3：可以將求得的x1、x2的值直接代入求值，再將其值代入求出y1、y2的值.

生4：可以用整體思想，聯立方程得一元二次方程，利用根與系數的關系求出x1x2的值為-81，然后代入拋物線方程求得y1y2=

師：請一名學生重復剛才的思路.同學們可以思考一下：能否將x1、x2代入直線，求得y1y2？同學們下課后可以試試.現在我們將其一般化，過渡到“問題2”，請同學們觀察問題2與問題1的不同.

問題2：直線y=-kx＋9與拋物線y=相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點.求y1y2.

組內打磨：問題2的設問是“封閉式”，仍然可以將“求y1y2”刪去，繼續改為開放式問題，追求開放的數學教學.

刪減問題后，課堂記錄如下：

師：請同學們對比下，問題2與問題1有什么不同？

生：（齊）問題1中直線的斜率k確定，而問題2中直線的斜率k不確定.

師：同學們剛才基于“問題1”提出的一些問題還能解決嗎？說出理由.

生1：①不能，因為不知道k的值，聯立的一元二次方程不可以求解.②不能.③不可以，因為面積等于鉛直高乘水平寬，鉛直高定，水平寬不定.④可以，同樣可以用勾股定理的逆定理得到∠AOB為90°.

師：證明直角還有其他方法嗎？

生2：還可以作垂直，構造相似.

生3：可以利用整體思想求得k1k2=-1，從而得到∠AOB=90°.

師：那如何求y1y2呢？

生4：可以用整體思想，聯立方程得一元二次方程，利用根與系數的關系求出x1x2的值為-81，然后代入拋物線方程求得

生5復述步驟.

師：通過剛才“問題1”“問題2”的研究，同學們思考一下：直線y=kx+b和拋物線y=ax2的交點的縱坐標y1、y2的積y1y2有什么特點.

生：y1y2的值只與直線y=kx+b和拋物線y=ax2中的b和a有關.

師：很好，同學們課后還可繼續深入探究：a、b之間會滿足怎樣的數量關系？我們繼續研究下面的“問題3”.

問題3：如圖2，直線y=kx＋8與拋物線y=x2相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點.

（1）小智同學認為點（y1，y2）一定在反比例函數的圖像上.你覺得小智正確嗎？為什么？

圖2

（2）求證：x1·OB＋y2·OA=0.

生1：聯立方程得一元二次方程，利用根與系數的關系求出x1x2的值為-64，然后代入拋物線方程求得y1y2=說明小智的發現是正確的.

師：回答得很好，大家獨立挑戰第（2）問.

教師在巡視過程中找到學生的如下解法（如圖3），講評時先投影這種解法，再請這個學生講解他的思路.

圖3

師：他的方法有問題嗎？你們有沒有看懂？

生：（多名學生）不對.

師：錯在哪兒？如何改正？

生2：默認了∠AOB，必須證明∠AOB=90°.

師：證明直角可以用哪些方法？

生3：勾股定理的逆定理，構造相似（一線三垂直），k1k2=-1.

師：（板書）好，哪名同學來講解這道題的具體思路？

生4：由x1x2=-64，y1y2=64，得x1x2=-y1y2，將數值轉化為線段的長度可得：OM·ON=AM·BN，即.又∠AMO=∠ONB=90°，則即OM·OB=BN·AO，則-x1·OB=y2·OA，即x1·OB＋y2·OA=0.

師：很好.布置一道課后作業，請同學們練習今天復習內容的變式問題.

變式再練：如圖4，平面直角坐標系xOy中，直線y=kx＋2028與頂點為C的拋物線＋2019相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點.

圖4

（1）求證：點（y1-2019，y2-2019）在反比例函數y=的圖像上；

（2）小慧提出問題：若等式x1BC＋y2AC=mAC恒成立，則實數m的值為2019，請通過演算分析小慧提出的問題是否正確.

二、教學立意的進一步闡釋

1.精心留白設問，從封閉走向開放

從上面整理的課例看出，我們對問題1、問題2原有設問都進行了留白式設計，使得上課時學生學習熱情高漲，學生從問題條件出發，進行了有深度的探究、組內交流研究、大組匯報展示.這樣的解題教學就從封閉式走向了開放式，學生的參與熱情得到激發，思維也更多地被卷入數學問題之中.這事實上也就是鄭毓信教授倡導的用開放題驅動開放式教學的一次積極實踐.

2.重視生成資源，引導辨析與究錯

由于問題開放，學生在課堂上的精彩生成也就多了，這時教師作為學程的組織者，要善于駕馭課堂，及時捕捉生成性資源，并用好這些生成性資源，讓更多的學生參與辨析與究錯.比如，上面課例中，我們就在巡視過程中收集了一種學生的典型錯誤解法，投影展示之后讓學生參與究錯，找出“想當然”的一種錯誤，使得學生的錯誤資源成為教學素材，當然，這也正是小學數學著名特級教師華應龍老師倡導的“化錯教育”.