關(guān)注解題訓(xùn)練，培養(yǎng)思維品質(zhì)

甘肅省天水市麥積區(qū)龍園中學(xué) 吳金鳳

作為數(shù)學(xué)教學(xué)中最基礎(chǔ)的一項(xiàng)學(xué)習(xí)活動(dòng)，解題是學(xué)生初步形成數(shù)學(xué)思維的重要一步，是磨礪思維品質(zhì)的重要組成部分.在傳統(tǒng)教育觀念中，解題也就是解答習(xí)題，如模仿性習(xí)題、實(shí)際問題和開發(fā)題等多種問題.當(dāng)然，學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的過程也是發(fā)展優(yōu)良思維品質(zhì)的過程.所謂優(yōu)良思維品質(zhì)，主要包括思維的發(fā)散性、敏捷性、創(chuàng)造性、嚴(yán)謹(jǐn)性.思維品質(zhì)不是教師“教”的，也不是學(xué)生“學(xué)”的，而是通過不斷的解題訓(xùn)練自然形成的.

一、重視觀察訓(xùn)練，培養(yǎng)觀察能力

觀察是引領(lǐng)學(xué)生獲取感性認(rèn)知的途徑，也是學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維加工的基礎(chǔ).無論是把握數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)還是識別圖形的特征，又或是發(fā)現(xiàn)隱藏的基礎(chǔ)規(guī)律，都離不開細(xì)致入微的觀察.培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力更是提升學(xué)習(xí)品質(zhì)和提高教學(xué)效率的有效途徑.

例1請觀察以下式子，…（ab≠0），其中第7個(gè)式子為______.

分析：首先，整體觀察題目，得出這些式子的分母中都含有a，分子中都含有b，不同之處在于每個(gè)式子的符號、分母和分子的指數(shù)；接著，深入觀察這些式子的不同之處，可以看出每個(gè)式子的符號呈現(xiàn)負(fù)、正交替的形態(tài)，可以用（-1）n（n為正整數(shù)）來表示，分母的指數(shù)呈現(xiàn)1、2、3、…的規(guī)律，可以用an表示，分子的指數(shù)呈現(xiàn)2、5、8、11、…（每個(gè)指數(shù)間隔3）的規(guī)律，可以用b3n-1表示.最后，第7個(gè)式子，即分母的指數(shù)為7，即n=7時(shí)，式子為

二、強(qiáng)化聯(lián)想訓(xùn)練，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維

聯(lián)想，是一個(gè)人生來便具有的天賦.但是，作為一種創(chuàng)新能力，還需要后天加以訓(xùn)練和發(fā)展，聯(lián)想的能力越強(qiáng)，就越能將意義不同的事物相關(guān)聯(lián)，找尋其中蘊(yùn)含的規(guī)律性的東西，架起溝通的橋梁，有意識地用聯(lián)系的眼光看待兩部分的內(nèi)容，豐富自身解決問題的策略，提高解決問題的能力，最終提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).因此，在解題中需要不斷強(qiáng)化聯(lián)想訓(xùn)練，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維.

例2如圖1所示，OA=OB=OC，且∠ACB=30°，那么∠AOB=（ ）.

A.70° B.60° C.50° D.40°

分析：從OA=OB=OC這一條件展開聯(lián)想，可以想象到“圓為到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合”，現(xiàn)以點(diǎn)O為圓心，邊OA為半徑作圓（如圖2），⊙O經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，運(yùn)用“相同弧所對的圓心角等于所對圓周角的兩倍”便可求出∠AOB的度數(shù).

圖1

圖2

例3如圖3所示，點(diǎn)P位于等邊△ABC內(nèi)，現(xiàn)有PC=5，PA=3，PB=4，請求出∠APB的度數(shù).

分析：這道題的難度比較大，我們可以由其中的一個(gè)條件出發(fā)聯(lián)想出構(gòu)造性問題，則可以將難度降低.現(xiàn)在觀察三邊的長度，并展開完整的聯(lián)想，在線段與勾股數(shù)之間建構(gòu)橋梁，聯(lián)系到直角三角形.然后，通過變換圖形將PA、PB、PC三條線段集中到一個(gè)三角形中，問題就可以迎刃而解了.

圖3

圖4

解：如圖4，將△BAP繞點(diǎn)B沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至60°時(shí)，BA、BC重合，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)Q，連接PQ.

∠PBQ=60°，BP=BQ，則△BPQ為等邊三角形，則PQ=PB=4.又PC=5，CQ=4，則在△PQC中，PQ2+QC2=PC2，則△PQC為直角三角形，則∠BQC=60°+90°=150°，則∠APB=150°.

三、關(guān)注特值法，培養(yǎng)思維的捷性

用特值法解題具有從特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律，可以培養(yǎng)新時(shí)代學(xué)生快速反應(yīng)的基本素質(zhì)，提高思維的敏捷性.作為數(shù)學(xué)教師，訓(xùn)練學(xué)生用特值法解題，既可以幫助學(xué)生快速解決一些選擇題和填空題，還可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)感覺，提高他們的探究、猜想、發(fā)現(xiàn)等整體素質(zhì).

例4如果實(shí)數(shù)x、y、z不全相等，a=x2-yz，b=y2-xz，c=z2-xy，則以下結(jié)論正確的是（ ）.

A.a、b、c都不大于0

B.a、b、c都不小于0

C.a、b、c中至少有一個(gè)大于0

D.a、b、c中至少有一個(gè)小于0

分析：根據(jù)條件可得x、y、z為不全相等的實(shí)數(shù)，那么可以分為以下兩種情況：①x、y、z各不相等，②x、y、z中有兩個(gè)是相等的.若x、y、z各不相等，我們可以假設(shè)x=1，y=0，z=-1，即可得出a、b、c都等于1，這樣一來A和D選項(xiàng)就可以排除掉了；若x、y、z中有兩個(gè)相等，我們可以假設(shè)x=0，y=1，z=1，即可得出a=-1，b=1，c=1，同樣排除掉B選項(xiàng).綜上所述，此題選C.若此題運(yùn)用一般解法解決，過程復(fù)雜，不少學(xué)生下手有困難，若分析條件和結(jié)論，并為字母賦予特殊值，則很容易快速獲取準(zhǔn)確答案，有利于學(xué)生快速反應(yīng)能力的提升.

例5如果函數(shù)y=的自變量x的值是實(shí)數(shù)，則k的取值范圍為（ ）.

A.k≥1 B.k＜0或k＞1 C.0＜k≤1 D.0≤k≤1

分析：根據(jù)條件可得k=0滿足題意，而觀察選項(xiàng)，只有D中包含0，因此此題選D.此題運(yùn)用一般解法過程煩瑣，不免費(fèi)時(shí)費(fèi)力，特殊值法是除繁就簡的思維方法之一，可以起到事半功倍的奇效.

四、著眼解題過程的邏輯化，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)性思維

現(xiàn)今的數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于大量的例題講解和習(xí)題訓(xùn)練，不少教師在講解時(shí)只注重解題思路的敘述，忽略了解題過程的嚴(yán)謹(jǐn)性，它帶來了重結(jié)論輕過程的負(fù)面影響.學(xué)生在解答時(shí)，把復(fù)雜的解題過程濃縮為幾個(gè)簡單的字母、數(shù)或字，出現(xiàn)了過程上的漏洞百出.長此以往，導(dǎo)致學(xué)生不重視解題過程的嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范，出現(xiàn)了解題過程書寫凌亂、邏輯性紊亂的現(xiàn)象.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，需重視訓(xùn)練學(xué)生解題過程的邏輯性，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

例如，在運(yùn)用“一元二次方程的根的判別式”解決問題時(shí)，如果二次項(xiàng)系數(shù)包含字母，則教師必須重申“二次項(xiàng)系數(shù)不可為0”這一前提條件，杜絕學(xué)生在完成選擇或填空題時(shí)由于這一前提遺漏而產(chǎn)生各種錯(cuò)誤.

五、多題一解，培養(yǎng)綜合歸納的思維方式

所謂多題一解，就是學(xué)生通過相同的知識點(diǎn)進(jìn)行多個(gè)練習(xí)，經(jīng)過梳理、歸納和提煉揭開各種習(xí)題的表層，探索其知識的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的發(fā)展性，培養(yǎng)學(xué)生一種綜合歸納的思維方式.

例6如圖5所示，在△ABC中，有AB=6，AC=8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍.

分析：此例題中只需要將邊AD延長至點(diǎn)E，使DE=AD，可得，再加上三角形的三邊關(guān)系，可得1＜AD＜7.

圖5

圖6

例7如圖6所示，已知梯形ABCD，有AD∥BC，AD＜BC，點(diǎn)E為對角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為對角線AC的中點(diǎn).求證：EF=

分析：此例題中，連接DF，并延長與邊BC相交于點(diǎn)M，可得再加上三角形的中位線性質(zhì)即可求證.

由此可見，此類問題的解決盡管表現(xiàn)形式不同，但問題本質(zhì)意義相同，在解完一題后讓學(xué)生進(jìn)行總結(jié)歸納，適時(shí)地將解題經(jīng)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)發(fā)散性遷移，從而獲取熟練的解題技巧.

六、一題多變，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性

一題多變是通過縱橫發(fā)散，使知識串聯(lián)、綜合、溝通，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，對培養(yǎng)創(chuàng)新人才具有重大意義.

例8已知一次函數(shù)y=（2m+4）x+（3-n），當(dāng)____時(shí)，此函數(shù)為正比例函數(shù).

變式1：已知一次函數(shù)y=（2m+4）x+（3-n），當(dāng)____時(shí)，此函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限.

變式2：已知一次函數(shù)y=（2m+4）x+（3-n），當(dāng)_____時(shí)，此函數(shù)的圖像不經(jīng)過第四象限.

變式3：已知一次函數(shù)y=（2m+4）x+（3-n），當(dāng)_____時(shí)，此函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)位于x軸下方.

變式4：已知一次函數(shù)y=（2m+4）x+（3-n），若此函數(shù)的圖像是由直線y=2x-4向上平移5個(gè)單位所得的，那么m=____，n=____.

變式5：已知一次函數(shù)y=（2m+4）x+（3-n），當(dāng)____時(shí)，該圖像與直線y=2x-4關(guān)于x軸對稱.

變式6：已知一次函數(shù)y=（2m+4）x+（3-n），若該函數(shù)的圖像與函數(shù)y=的圖像相交于點(diǎn)（1，2）、（-2，-1），那么不等式的解集為________.

一個(gè)簡單的一次函數(shù)問題，通過結(jié)構(gòu)不停變換來鞏固學(xué)生對知識的掌握并讓學(xué)生靈活運(yùn)用，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和思維的發(fā)散性.

總之，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)善于利用各種方法培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì).這不僅可以讓學(xué)生的思維品質(zhì)得到快速成長，還可以從根本上激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，提升教師的教學(xué)質(zhì)量.