借助模型尋思路，關聯知識覓解法
——以一道幾何題的解決為例

浙江省三門縣三門初級中學 丁堅鋒

在中考前的一段時間，畢業班的教師忙著選題、做題、研題，不亦樂乎.其間，有幾位教師與我交流了一道題的解法，得知這道題的得分率很低，這引起了筆者對這道題一探究竟的興趣.

一、試題呈現

圖1

圖2

二、解法探究

1.代數法：借助函數模型，關聯方程知識

求最值是函數問題中最常見的一類問題，從幾何圖形中找出數量關系，建立一個函數模型去求BD的最大值，便成了很自然的想法，于是筆者進行了嘗試.

分析：如圖2，分別作AE⊥BC 于點E，DF⊥BC 交BC 的延長線于點F.

設AE=a，DF=b.

由BE2+AE2=AB2，得，化簡得a2+b2=

由BD2=（BC+CF）2+DF2，得（a+b）+1.此時，只需求出a+b的最大值即可.

圖3

不妨設a+b=m，消去a（消去b也行），得a=m-b.代入中，得m2+2=0.由Δ≥0，得0.畫出y=的圖像，如圖3，計算出圖像與橫軸的交點的坐標，結合圖像可知，m的最大值為，此時.至此，問題得到解決.

反思：此法通過數形結合，將幾何問題轉化為代數問題，借助函數性質去求最大值，這一過程對學生分析圖形中的數量關系提出了較高的要求.同時，需要有較強的綜合運用知識的能力，才能順利解決問題.學生較少接觸含兩個字母的二次式，對他們而言，首先想到的是解方程，而不會考慮用根的判別式.學生不易理解看成關于b的方程和關于m的方程的區別，如果從解方程的角度來看，這兩者是一樣的，因為根的表達式是方程的另一種表現形式.我們知道，當m變化時，會影響到b是否有實數根，所以，把方程看成關于b的方程，從方程有解還是無解方面去考慮，利用根的判別式求m的取值范圍.

不過，一元二次不等式在初中階段不做學習要求，通過建立二次函數，借助函數圖像去解二次不等式，對初中生來說難度過大.

2.幾何法：借助基本圖形，關聯圖形變換

用變換的方法將數量關系進行轉化，聚集分散的條件到一個三角形或基本圖形中，從而解決問題，是解決一類幾何最值問題的基本思路.

解法1：利用全等變換解決問題.

分析：如圖4，將△BCD繞點C逆時針旋轉90°，得到△ACE，即構造出一對全等三角形：△ACE與△DCB，利用全等性質，將已知條件分別進行轉移，把問題轉化到△ABE中進行解決.過點C作CE⊥BC，且CE=BC，連接BE、AE，所以易知所以BD=AE.AE的最大值等于AB+BE，所以BD的最大值為

圖4

解法2：利用相似變換解決問題.

分析：如圖5，將△ACD做相似變換，得到△AEB，將問題轉化到△BCE中進行解決.以AB為斜邊，作Rt△AEB，AE=BE，連接CE.易知BE=.因為且∠EAC=∠BAD，所以，所以BD=的最大值等于BE+BC，所以BD的最大值等于

圖5

反思：一般地，數學問題的解決是經過一系列的轉化來完成的，圖形的變換則能將幾何問題中的已知條件在圖形的位置上進行轉移，在數量關系上進行轉化，所以，圖形的變換思想在轉化過程中起到極大的作用.初中的圖形變換主要有全等變換（平移、軸對稱和旋轉）和相似變換.學習經驗告訴我們，當圖形中有兩條共頂點的等線段時，一般可以構造全等三角形（有些教師稱之為“手拉手”模型），學生對于添輔助線構造全等三角形的方法較為熟悉，而對構造“手拉手”型的相似三角形卻較為陌生.事實上，這與我們在教學過程中有沒有對一個基本圖形進行深入探究和類比學習有極大的關系，如圖6，△ABC和△CDE都是等邊三角形，我們既要引導學生對圖中的結論進行探究，又要從圖形的變換角度提煉數學思想方法.圖7則是圖6一般化的結果，對此，可從類比學習角度進行圖形關系的探究，從而使學生形成構造“手拉手”型相似三角形的意識，培養圖形關聯的意識.

圖6

圖7

從筆者與其他教師的交流中發現，解決這個問題最困惑的地方在于要用到什么知識，添什么樣的輔助線.思路受阻的原因是解題者在進行問題表征的過程中無法有效地與相關知識和解題模型聯系起來，如：求最大值的模型、添輔助線構造相似圖形的模型.在問題表征過程中能做到積極有效地關聯知識，這與解題者的活動經驗有直接關系，活動經驗的獲得又與其學習活動分不開，特別是參與探究圖形結論的過程性學習.

在教學過程中，告訴學生一些“基本圖形”的結論是不夠的，更重要的是關注發現結論的過程和深層次的學習內容（數學方法的總結和數學思想的凝練）.

三、將問題一般化，發現共性見本質

將上述問題進行一般化處理，即得到如下的問題：如圖8，在四邊形ABCD中，AB=m，BC=n，CD∶AC∶AD=a∶b∶c，則BD的最大值為______.

分析：構造∠BAO=∠CAD，所以∠BAC，所以，所以.如圖9，當B、O、D三點共線時（點O在點B、D之間），BD的值最大，BD最大=

圖8

圖9

反思：把具體的數據換成字母，特殊的位置關系退化成一般情形，去探究一般化的結論，是從一題多解走向多解歸一的有效途經，是發現圖形性質的有效方法.用相似變換轉化關系是解決這類問題的一般方法.

我們從圖9中可以看出，當BD的值最大時，A、B、C、D四點共圓，凸顯了數學的奇異之美，在答案的結構上也顯現出對稱之美.這不禁讓人聯想到托勒密定理：圓內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積；托勒密定理的推論：任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當A、B、C、D四點共圓時取等號.可見，對于這個問題，可利用托勒密定理的推論來求BD的最大值，設CD=ak，AC=bk，AD=ck，代入AC·BD≤AB·CD+AD·BC便可求得結果.

事實上，托勒密定理及其推論也是通過構造“手拉手”型相似三角形得以證明的.

四、體會：發揮“解題模型”在解題中的積極作用——知識的關聯與思維的啟發

“解題模型”是指教師在解題教學中發現并總結出的一些結論性認識.具體指一些一般化程度較高的結論或圖形（或稱之為“基本圖形”），如“手拉手”“一線三等角”等模型.它的主要作用在于聯想“原型”，啟迪解題方向，縮減思維長度.從廣義上看，數學教材中的定義、法則、公式、原理、性質、定理等也是數學“解題模型”.

“解題模型”是學生在數學解題中開展聯想的原型，如果學生看到相應的問題能建立聯想，就能順利地找到解題思路.

比如問題：如圖10，在△ABC 中，AB=BC=AC，AD=3，CD=4，BD=5，求∠ADC的度數.

這是學習全等三角形知識后出現的一道典型的習題，我們把此題與文章開頭的問題（圖1）做一下對比，不難發現，它們在已知條件的特征和相關線段的位置關系上都極為相似，解決問題的方法都用到了圖6的結論.在學生的學習過程中，這三個問題（圖形）的出現順序應該是：圖6—圖10—圖1，難度逐級上升，應用圖6解決其他兩個問題，不僅是結論的應用，更是一種數學思想和方法的體現.在解決圖10所示的問題時，若能及時給予學生從分析已知尋找可關聯的知識、從分析圖形特征尋找可關聯的基本圖形這兩方面的啟發，就能使學生獲得有益的解題經驗，解決圖1所示的問題便會順利很多.

圖10

解題是一個復雜的思維活動，數學解題模型作為重要的解題元素往往能夠幫助學生形成良好的解題直覺，啟迪解題方向.按照波利亞的觀點，在解決問題之前，我們應充分聯想和回憶與原有問題相同或相似的知識點和題型，充分利用相似問題中的方法和結論，從而解決現有的問題.這反映出數學解題模型能使解題者在分析問題時產生活躍的聯想，誘發知識關聯，進而催化假設、類比、遷移、轉化，問題也會順利解決.