單通道旋轉彈舵面控制律與轉速研究*

楊 宇，溫求遒，李 威，夏群利，阮 聰

(北京理工大學宇航學院， 北京 100081)

0 引言

在飛行器中，有一類繞自身縱軸進行旋轉的導彈叫做旋轉彈。通過彈體的旋轉運動可有效改善推力偏心、質量偏心以及外形加工工藝誤差等干擾的影響，保持彈體的穩定性[1]。旋轉彈通常不控制滾轉回路，根據舵控制方式，可分為單通道控制與雙通道控制。雙通道控制為兩個舵機分別控制一對舵面，實現俯仰與偏航的控制飛行，與非滾轉彈的俯仰偏航相對比，雙通道旋轉彈只是將自動駕駛儀生成的俯仰偏航舵指令通過當前滾轉角分解到兩對舵上去，在不考慮滾轉帶來的指令滯后情況下，雙通道旋轉彈與非旋轉彈控制效果一樣[2]。單通道控制則是旋轉彈特有的控制方式，即以一個通道的控制器同時控制俯仰和偏航兩個方向的運動。早期的單通道控制采用繼電式舵機，通過彈體旋轉一個周期內數次變換舵機指令，通過不同的變換時間點使得舵機在一個旋轉周期內工作的積分效應產生等效控制力，最終實現彈體在空間內任意方向的控制飛行[3]。隨著舵機的發展與性能改進，比例舵機應用愈發廣泛，相對于繼電式舵機，比例舵機可以自由控制當前舵機轉動角度，能夠更加自由的實現單通道舵機控制方式[4]。文中研究繼電式舵機與比例舵機的不同的舵機控制方式并通過仿真分析其穩定控制條件。

1 制導火箭彈運動模型的建立

為方便分析旋轉彈的舵面控制律，建立與彈體固聯的彈體坐標系Ox1y1z1與不跟隨彈體轉動的準彈體坐標系Ox2y2z2。

彈體坐標系原點O為導彈質心，Ox1軸與彈體縱軸重合且指向頭部為正，Oy1軸位于導彈縱向對稱面內且與Ox1軸垂直，向上為正，Oz1軸與縱向對稱面垂直且符合右手定則。

準彈體坐標系原點為導彈質心O，Ox2軸與彈體縱軸重合且指向頭部為正，Oy2軸位于包含導彈縱向的鉛垂平面內且與Ox2軸垂直，Oz2軸通過右手定則確定。坐標關系如圖1所示[5]。

2 Bang-Bang舵控制律數學模型

Bang-Bang舵控制律采用的是繼電式舵機控制，舵機只能為正或負的最大角度。因此，采用的控制方法是在一個控制周期內不斷的變換舵片的極性以實現對導彈空間內任意運動方向的控制[6]。現設偏航指令為σ1，俯仰指令為σ2。Bang-Bang舵在一個周期內方向變換兩次，設兩次變換方向的時間分別是φ和π+θ，指令如下：

圖2 Bang-Bang舵指令變換曲線

將舵指令分別投影到準彈體坐標系下的Oy2軸與Oz2軸，投影曲線如圖3所示。

圖3 Bang-Bang舵指令俯仰偏航投影曲線

根據單通道旋轉彈一個舵指令周期在俯仰偏航方向的積分效果要等效于該段時間內彈體指令作用效果，可以得到以下公式：

(1)

對式(1)求解，可得出：

(2)

上式即為Bang-Bang舵進行控制時兩次變換的時間點，通過指令以及最大舵偏角求出變換時間。

3 正弦舵控制律數學模型

旋轉彈舵控指令控制周期設為1 Hz，即每一個旋轉周期，控制指令也為一個周期變換，設偏航指令為σ1，俯仰指令為σ2，彈體轉速為w，舵指令幅值為Δ，初始相位為φ，彈體旋轉一周時間為T，正弦舵指令為：

delta(t)=Δsin(wt+φ)

(3)

當前指令的控制要求正弦舵在俯仰和偏航方向上的積分效應為指令持續一個旋轉周期的效應，根據以上要求，可以得出：

(4)

對式(4)求解得到舵控信號的幅值和初始相位：

(5)

正弦舵舵指令原理可解釋為首先將俯仰與偏航舵指令合成一個鉛垂面的合指令，舵機旋轉一周在該合指令方向積分值最大，在與該合指令垂直方向為0。為實現彈體平均產生的過載方向沿著該合指令方向，合成過載大小可表示為sqrt(σ1·σ1+σ2·σ2)，為達到指令要求，則要求當彈體轉到合成過載方向，舵指令為最大，舵指令轉動到與合成過載垂直的方向則舵指令為0[7]。如圖4所示。

圖4 正弦舵指令示意圖

4 控制穩定性研究與仿真分析

單通道控制依托舵面在彈體旋轉一圈的情況下作用的積分效應，當彈體轉速過慢時，彈體幾乎能夠完全的響應每一個時刻舵指令，無法滿足舵控指令的積分效應。因此，單通道旋轉彈的轉速必須高于一定的數值來滿足控制需求。現以比例舵控制律分析彈體的最低轉速需求。

4.1 仿真條件

為分析不同舵面控制律的控制效果與單通道控制所需的最低轉速要求，通過某鴨舵控制的旋轉火箭彈進行分析，該火箭彈飛行時間約為40 s，主動段推力持續時間2.3 s。選取飛行時間為20 s時，在該時間點給出一個準彈體系下階躍舵指令，令火箭彈轉速為0，給出一個恒定舵面偏轉角度，得到當前狀態下火箭彈的階躍響應。設置火箭彈不同的轉速，準彈體系下的階躍指令保持不變，分析單通道旋轉彈舵面控制律的控制效果并對火箭彈控制需求轉速進行研究。20 s時彈體狀態如表1所示。

表1 仿真條件

4.2 正弦舵控制律推導

設轉速為0，在20 s給出2°的恒定俯仰舵指令，當轉速為2 Hz時，舵面實際角度如圖5所示。

圖5 正弦舵舵面轉動角度曲線

將舵效分解到俯仰方向與偏航方向可得見圖6。

圖6 正弦舵指令等效俯仰偏航指令

從上圖可以看出等效俯仰舵指令為0至4°周期變化的正弦指令，其積分效果與不滾轉時2°俯仰指令作用效果相同。偏航指令為賦值幅值2°的正弦指令，積分效果為0，說明正弦舵控制律能夠有效的響應俯仰偏航指令。

4.3 正弦舵指令響應仿真

設彈體不滾轉，給出俯仰2°舵指令，則角速度及過載響應如圖7所示。

圖7 非滾轉彈體角速度與過載響應

分別設置彈體轉速為1 Hz、3 Hz、5 Hz，通過上述的公式采用正弦舵控制律，彈體過載和角速度響應如圖8所示。

圖8 不同轉速彈體過載響應

圖8中黑框放大圖如圖9所示。

圖9 過載響應放大圖

從圖9可以看出，轉速為1 Hz時，彈體幾乎無法正確響應過載指令，當轉速提高到3 Hz以上時，彈體俯仰過載與非滾轉時響應情況很接近，說明單通道控制無法在低轉速時使用。偏航響應與俯仰相類似，不再進行說明。

在彈體的階躍響應過程中，彈體角速度可以作為響應品質的一個評判，角速度超調量越小，響應穩定后角速度振幅越小說明響應品質越好[8]。同樣條件角速度響應如圖10所示。

圖10 2 Hz彈體頻率角速度響應放大圖

從圖10可以看出，當彈體轉速為1 Hz時，俯仰角速度全程都在振蕩，沒有收斂趨勢，隨著轉速提高到3 Hz以上，俯仰角速度能夠收斂在一定范圍內振蕩，彈體轉速越高，角速度振蕩范圍越小。現取不同轉速，并記錄穩定響應的角速度幅值，曲線如圖11所示。

圖11 1 Hz彈體頻率不同轉速角速度幅值曲線

根據圖11可知，當轉速小于3 Hz時，彈體俯仰角速度振蕩幅值較大，且隨著轉速提高角速度幅值快速下降。當轉速大于4 Hz的時候，角速度幅值同樣隨轉速提高而下降，但下降的幅度較小，變化較為緩慢，結合圖8、圖9可知，當轉速大于3～4 Hz時，單通道舵面能夠有效的工作。

4.4 仿真分析

根據飛行力學可知，彈體環節可以簡化為二階環節，二階振蕩環節與階躍響應的響應時間和彈體頻率有直接關系，彈體頻率越高，響應速度越快[9]，響應速度過快會導致彈體在一個旋轉周期內快速跟蹤每一個時刻的指令，體現不出舵機的控制效果。根據圖11可知，當前仿真狀態彈體頻率為1 Hz，通過彈體不同轉速的角速度幅值與過載響應判斷，當轉速為3 Hz以上時，可通過單通道控制方法對旋轉彈進行有效控制，現通過改變彈體質心位置改變導彈的彈體頻率，將彈體頻率增大至2 Hz。不同轉速的角速度響應如圖12所示。

圖12 2 Hz彈體頻率不同轉速角速度幅值曲線

改變彈體頻率后，當轉速達到6 Hz以上時，角速度幅值變化幅度較小，達到穩定控制的目的。此時彈體頻率為2 Hz，說明單通道控制需要滿足轉速至少達到彈體頻率3倍以上。

5 結論

文中對單通道旋轉彈的舵面控制律進行了分析，建立了Bang-Bang舵與正弦舵的數學模型并推導解析公式。將得到的數學模型應用到實際工程中，對單通道旋轉彈進行階躍指令響應分析，仿真表明兩種舵面控制律能夠有效的實現單通道控制。同時對能夠穩定控制的彈體轉速進行了研究，通過對階躍指令響應的數學仿真，證明了單通道控制要求彈體轉速需大于3倍的彈體頻率。