基于模糊混合退火分布的多目標高斯混合粒子PHD濾波算法*

冉星浩，陶建鋒，賀思三

(空軍工程大學防空反導學院， 西安 710051)

0 引言

目標跟蹤在民用以及軍事層面均有普遍性的運用，例如飛機和船舶跟蹤等。這其中，多目標跟蹤問題更是當前世界上討論的關鍵問題[1-2]。然而在雜波環境下，多目標跟蹤與單目標跟蹤相比難度較大[3]。

2000年Mahler在隨機有限集理論的基礎上，提出了基于隨機有限集的概率假設密度的濾波方法(PHD)來解決多目標跟蹤問題[4]，相比于傳統的關聯算法，PHD算法不僅避免了復雜的數據關聯過程，同時跟蹤精度和實時性更高。

PHD算法目前可以分為兩種：一種是高斯混合PHD(GM-PHD)[5]，這種算法使用的噪聲模型為高斯模型，受限于噪聲模型，同時會出現計算精度較低的問題；另一種是粒子PHD算法(PF-PHD)，可以適用于非線性非高斯情況下[6]，不受噪聲模型限制同時精度較高，但是計算量較大，會出現濾波發散的情況使得跟蹤效果往往達不到要求。

為了解決以上問題，文獻[7]提出了高斯混合粒子PHD(GMP-PHD)濾波方法，這種方法綜合了以上兩種PHD算法優點，然而這種方法在進行重要性采樣時沒有考慮最新的量測信息，使得采樣的樣本與真實的后驗概率所得到的樣本偏差較大，影響濾波效果。

針對以上問題，文中在高斯混合粒子PHD基礎上，提出基于模糊混合退火分布[8]的改進高斯混合粒子PHD算法 (I-GMP-PHD)。該算法在高斯混合粒子PHD濾波的基礎上，采用狀態變量分解和通過模糊系統引入退火因子的方法產生最優的建議分布函數，這樣得到的重要性密度函數[9]融入了最新的量測信息，同時克服了轉移先驗概率密度存在的問題。仿真結果表明該算法相比于傳統算法，大大提高了濾波精度和系統穩定性。

1 算法原理

1.1 標準粒子濾波算法

粒子濾波算法起源于蒙特卡羅思想，通過粒子集來近似目標的后驗概率密度函數，適用于任何形式的狀態模型[10]。其實質是通過對重要性密度函數采樣得到一組隨機樣本來近似目標后驗概率密度函數，得到的樣本稱為粒子[11]，然后計算粒子權值，用粒子和權值加權得到樣本均值代替貝葉斯估計中的積分運算得到目標狀態估計[12]。

1.2 模糊混合退火粒子濾波算法

針對粒子濾波出現的粒子退化問題，混合退火粒子濾波由于分別采用轉移先驗和融入了最新量測信息的后驗概率密度作為建議分布進行采樣，融合了兩者的優點而受到廣泛關注。但是由于是利用先驗分布來得到表征狀態的粒子，混合建議分布存在與似然分布偏差較大的問題。針對以上問題，再利用狀態噪聲和量測噪聲統計特性之間的關系，引入退火因子[13]來解決。

1.2.1 混合退火建議分布

(1)

(2)

式(2)詳細推導見文獻[10]附錄。其中退火參數β范圍為0≤β≤2，選擇原則為：

1) 若Σd<Σv，此時先驗分布大部分處于似然函數平坦區外，取0<β<1使得先驗函數更為平坦；

2)若Σd≈Σv，此時先驗分布與似然函數大部分重合，取β=1，即采用先驗分布作為建議分布，濾波性能更好；

3)若Σd>Σv，此時先驗分布相比于似然函數尖峰來說較平坦，取1<β<2，使先驗分布形狀變尖銳，即采用似然函數為建議分布。

1.2.2 模糊推理系統

在傳統的混合退火建議分布中，概率密度分布存在不確定性，然而退火參數β的取值固定，從而影響粒子濾波效果。為了解決這個問題，通過引入模糊推理系統FIS(fuzzy inference system)，對傳統的混合退火粒子濾波算法進行改進，利用模糊系統依據輸入變化特征做出不同的決策，進行輸出，得到模糊混合退火粒子濾波算法(FAHAPF)。

定義調節b：

(3)

退火參數β取值由b進行調節。

定義模糊子集equal為在1附近，more代表基本<1，less代表基本>1，β的FIS規則為：

(4)

其中，β和b的隸屬度函數如圖1和圖2所示。

圖1 β的隸屬度

圖2 b的隸屬度

1.2.3 模糊混合退火粒子濾波算法

混合退火粒子濾波算法步驟如下：

1)初始化：首先對狀態向量進行分解，通過以上FIS確定退火因子β并設計建議分布；

4)狀態估計:在已知q(xk|z1,k)的情況下，估計系統狀態及誤差：

(5)

(6)

(5)令k=k+1，返回步驟2)。

2 PHD濾波算法

2.1 PHD濾波原理

PHD濾波分為預測和更新[14]兩步：

1)預測

(7)

2)更新

(8)

式中：βk|k-1(xk|xk-1)為衍生目標的強度，γk(xk)為新出生目標的PHD，ek|k-1(xk-1)fk|k-1(xk|xk-1)為存活目標的強度，ek|k-1(xk-1)為目標存活概率，fk|k-1(xk|xk-1)是目標的狀態轉移概率；PD(xk)為檢測概率，g(z|xk)為目標似然函數，κk(z)為雜波強度。

2.2 GMP-PHD濾波

傳統的高斯混合粒子PHD濾波利用一組高斯項相加來近似目標的概率分布[15]，分為預測和更新兩步。

1)預測

Dk|k-1(x)=Ds,k|k-1(x)+Dβ,k(x)

(9)

(10)

(11)

對高斯項采樣得：

(12)

式中：

(13)

(14)

化簡可得：

(15)

2)更新

GMP-PHD濾波中似然函數為：

g(z|x)=N(z;h(x),R)

(16)

更新方程為：

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

GMP-PHD算法綜合了兩種PHD算法的優點，但是由于在重要性采樣過程中沒有考慮到量測值，導致與真實值存在偏差從而出現精度不高、濾波發散等問題[16]，這樣對于要求比較高的系統，算法達不到預期的要求。因此，提出了改進的I-GMP-PHD(improved GMP-PHD)算法。

2.3 改進I-GMP-PHD算法步驟

結合FAHAPF算法和上述GMP-PHD濾波方法，改進I-GMP-PHD算法的步驟描述如下：

3)粒子的預測和更新：采樣后根據樣本狀態和權值進行預測，再利用量測值對預測值進行更新，步驟如下:

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

4)權值遞推：

(32)

(33)

5)PHD的預測與更新：

Dk|k-1(x)=Ds,k|k-1(x)+Dβ,k(x)

(34)

式中：

(35)

(36)

化簡可得：

(37)

PHD更新為：

(38)

權值更新為：

(39)

6)目標個數估計和更新：

(40)

(41)

3 仿真結果與分析

為了驗證改進算法優越性，分別用GMP-PHD、和I-GMP-PHD算法的性能進行對比分析。

3.1 仿真環境

仿真設定為二維平面區域中，跟蹤目標數目未知且變化的多目標跟蹤例子。目標跟蹤模型為：

xk+1=Fxk+Gwk

(42)

(43)

(44)

(45)

上述式中，xk包括目標的位置與速度。

仿真中共有5個目標，設定初始時刻存在一個目標，初始狀態為(-40,3,40,-1),之后有4個目標交替出現。目標以w=0.025 rad/s做曲線運動，各個目標之間運動軌跡有交叉，假設目標存活概率與檢測概率均為0.99。wk是標準差方差為0.01的高斯白噪聲；vk為量測噪聲，方位角誤差方差為0.01 rad2，距離誤差方差為0.1。采樣周期為1 s，仿真時間為100 s。采取最優子模型分配距離(optimal subpattern assignment,OSPA)作為多目標跟蹤性能的評價標準。

3.2 仿真結果分析

根據設定的仿真環境，分別用兩種算法對5個目標進行跟蹤，結果如圖3～圖7所示。

圖3 目標真實航跡

圖4 GMP-PHD狀態估計圖

圖5 I-GMP-PHD狀態估計圖

圖3為雜波環境下目標真實軌跡圖，圖4、圖5和圖6分別是GMP-PHD算法，I-GMP-PHD算法的跟蹤效果對比圖與OSPA距離對比圖。從圖4和圖5可以看出兩種算法都能較好地跟蹤多個目標，但是從圖6可以看出I-GMP-PHD跟蹤多目標OSPA距離小于GMP-PHD，跟蹤精度要高于GMP-PHD。這是因為改進算法采取模糊混合退火分布產生最優的建議分布，充分考慮了量測值，同時引入了退火因子克服了轉移先驗分布存在的問題，解決了粒子退化問題，濾波效果更佳，大大提高了跟蹤精度，跟蹤誤差更小。

圖6 OSPA距離對比圖

圖7 目標個數估計

同時從圖7看出兩種算法對目標個數估計與真實的目標個數大致相同，但是GMP-PHD算法對目標個數估計存在較大誤差，而I-GMP-PHD算法對目標個數估計更加精確。

4 結論

文中從高斯混合粒子PHD濾波算法中存在的跟蹤精度不高和濾波發散問題出發，提出了一種基于模糊混合退火分布的多目標高斯混合粒子PHD算法。首先利用模糊推理系統確定調節因子調節退火系數，然后設計改進的混合退火分布產生重要性密度函數融入GMP-PHD濾波框架中，再進行PHD更新。仿真結果表明，改進算法能夠有效地跟蹤多個目標，相比于GMP-PHD濾波算法，跟蹤精度大大提高，系統穩定性也得到進一步加強。