模式耦合快速求逆稀疏貝葉斯MIMO雷達(dá)成像*

胡仁榮，童寧寧，何興宇，陳 橋

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院， 西安 710051)

0 引言

MIMO雷達(dá)成像目標(biāo)回波信號(hào)通常表現(xiàn)出稀疏性。壓縮感知技術(shù)能在欠采樣條件下恢復(fù)稀疏信號(hào)

y=Ax+w

(1)

A∈RM×N(M?N)為采樣矩陣，x表示N維稀疏信號(hào)，w表示噪聲，其均值為0，方差為σ2。然而在許多的MIMO雷達(dá)成像場景中，目標(biāo)回波稀疏信號(hào)在距離維和方位維都會(huì)表現(xiàn)出連續(xù)性結(jié)構(gòu)[1]。因此大量算法被提出來研究塊稀疏信號(hào)恢復(fù)問題，比如Block-OMP[2]、混合l2/l1范數(shù)最小化[3]、模式耦合稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(pattern-coupled sparse bayesian learning, PCSBL)[4]等。前兩類算法需要先驗(yàn)獲取目標(biāo)塊結(jié)構(gòu)信息，后者通過系數(shù)耦合的方法在不需要先驗(yàn)信息的情況下能夠有效靈活的獲取潛在的塊結(jié)構(gòu)信息。但其主要的缺點(diǎn)是每次的迭代都要計(jì)算復(fù)雜矩陣逆運(yùn)算，隨著信號(hào)維數(shù)的增加，計(jì)算量越來越大，從而很難應(yīng)用到實(shí)際場景中。文獻(xiàn)[5]提出了快速求逆稀疏貝葉斯算法，其方法是找到一個(gè)松弛明顯下界，利用該方法，能將迭代過程中復(fù)雜矩陣求逆轉(zhuǎn)化為對(duì)角矩陣求逆，從而大大降低運(yùn)算量。

文中將模式耦合稀疏貝葉斯算法與快速求逆稀疏貝葉斯算法結(jié)合，提出基于模式耦合快速求逆稀疏貝葉斯(pattern-coupled fast inverse-free sparse bayesian learning, PC-IFSBL)算法，并將其應(yīng)用到MIMO雷達(dá)成像中，該算法在降低運(yùn)行時(shí)間的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了塊稀疏信號(hào)高效恢復(fù)。

1 MIMO雷達(dá)線陣收發(fā)分置回波信號(hào)模型

文中采用收發(fā)分置的MIMO雷達(dá)線形陣列建立信號(hào)模型，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。發(fā)射陣列和接收陣列分別為It個(gè)發(fā)射陣元和Mr個(gè)接收陣元組成的均勻線陣，陣元間距分別為dt和dr。以第一個(gè)發(fā)射陣元為坐標(biāo)原點(diǎn)建立三維坐標(biāo)系，令收發(fā)陣列所在平面為X-Y平面，發(fā)射線陣為Y軸。分別用Ti和Rm表示第i個(gè)發(fā)射陣元和第m個(gè)接收陣元所在位置，坐標(biāo)原點(diǎn)為T0。

圖1 收發(fā)分置MIMO雷達(dá)陣列模型

(2)

式中：fc為載波頻率，T表示子脈沖長度，且發(fā)射信號(hào)STi(t)滿足

(3)

在匹配濾波之后，第i個(gè)發(fā)射陣元的發(fā)射信號(hào)經(jīng)目標(biāo)上的散射中心p散射后被第m個(gè)接收陣元接收的回波信號(hào)為

(4)

式中：αi(t)是發(fā)射波形的自相關(guān)函數(shù)，τp,i,m=(TiP+PRm)/c是回波延時(shí)，TiP和PRm分別表示第i個(gè)發(fā)射陣元和第m個(gè)接收陣元到散射中心P的距離，c為波速。

假設(shè)目標(biāo)上的任意一點(diǎn)為參考點(diǎn)O，且指定O為相對(duì)坐標(biāo)系的原點(diǎn)，那么P點(diǎn)在該相對(duì)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(Px,Py)，且相對(duì)坐標(biāo)(Px,Py)不隨目標(biāo)的平動(dòng)而變化。雷達(dá)的發(fā)射信號(hào)為窄帶信號(hào)波形時(shí)，低距離分辨率可以保證不同接收陣元接收到的不同發(fā)射陣元的信號(hào)主瓣在一個(gè)距離分辨單元中，因此式(4)可近似為

(5)

式中λ為發(fā)射信號(hào)的波長。以參考點(diǎn)O為相位中心，則相位補(bǔ)償后回波信號(hào)可表示為

(6)

根據(jù)文獻(xiàn)[7]的引理和文獻(xiàn)[8]中的近似，最終可得到包含D個(gè)散射中心的目標(biāo)回波信號(hào)為

(7)

式中:σp=ζp(-j2π(OP)T(T0O/T0O+OR0/OR0)/λ)，(xp,yp)為包含目標(biāo)散射中心P的位置信息(Px,Py)的位置參數(shù)。

2 模式耦合快速求逆稀疏貝葉斯算法

2.1 模式耦合稀疏貝葉斯模型

文獻(xiàn)[4]提出了一種基于模式耦合稀疏貝葉斯分層模型，這種模型下x服從高斯先驗(yàn)分布

(8)

式中：

(9)

假定α0=0，αn+1=0對(duì)應(yīng)端點(diǎn)x1和xn。β為系數(shù)xi與其相鄰系數(shù)xi+1和xi-1之間相關(guān)性的參數(shù)，其中0≤β≤1。通過β將相鄰系數(shù)的超參數(shù)聯(lián)系到一起，實(shí)現(xiàn)塊稀疏信號(hào)的精確重構(gòu)。

根據(jù)傳統(tǒng)稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)，使用伽馬分布作為超參數(shù){αi}的超先驗(yàn)

(10)

式中參數(shù)a,b的選擇在文獻(xiàn)[4]中已經(jīng)給出。

假設(shè)噪聲方差已知，通過貝葉斯推理，得到信號(hào)x的后驗(yàn)分布為:

p(x|α,y)∝p(x|α)p(y|x)

(11)

式中p(x|α)由式(8)給出，而

(12)

顯然，p(x|α,y)服從高斯分布，其均值和方差為:

(13)

式中:D為對(duì)角矩陣，其第i個(gè)對(duì)角元素為(αi+βαi+1+βαi-1)。

文獻(xiàn)[4]利用期望最大化(expectation-maximization，EM)算法[9]實(shí)現(xiàn)了超參數(shù){αi}的估計(jì)。則信號(hào)x的最大后驗(yàn)估計(jì)就等于它的后驗(yàn)分布的均值μ，即

(14)

綜上可以看出，每次迭代更新計(jì)算均值μ時(shí)，都涉及到N×N維矩陣逆運(yùn)算。

2.2 快速求逆稀疏貝葉斯模型

(15)

(16)

結(jié)合模式耦合稀疏貝葉斯聯(lián)合參數(shù)估計(jì)思想，令Λ的第i個(gè)分量Λi=αi+βαi+1+βαi-1，通過β將相鄰參數(shù)聯(lián)系起來，從而得到基于快速求逆模式耦合稀疏貝葉斯(pattern-coupled fast inverse-free sparse bayesian learning, PC-IFSBL)算法進(jìn)行計(jì)算更新。

若獲取到超參數(shù){αi}，則信號(hào)x的最大后驗(yàn)估計(jì)就等于它的后驗(yàn)分布的均值μ，即

x=μ

(17)

歸納上述分析過程，得出基于PC-IFSBL算法的MIMO雷達(dá)成像步驟為：

2)根據(jù)超參數(shù)α(t+1)計(jì)算式(16),根據(jù)式(17)得到新估計(jì)的雷達(dá)信號(hào)x(t+1)；

4)根據(jù)估計(jì)的雷達(dá)信號(hào)重構(gòu)出目標(biāo)像。

3 仿真與結(jié)果分析

仿真目標(biāo)為波音747點(diǎn)散射模型，如圖2所示，機(jī)長18 m、翼展16 m，由300個(gè)散射中心點(diǎn)組成，目標(biāo)散射中心的散射系數(shù)隨機(jī)設(shè)置，以發(fā)射陣列第一個(gè)陣元T0作為測量坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，以參考相位中心點(diǎn)O為相對(duì)坐標(biāo)系原點(diǎn)。

圖2 散射點(diǎn)模型

線陣收發(fā)分置MIMO雷達(dá)的陣列排布如圖1所示，設(shè)發(fā)射陣列包含It=25個(gè)陣元，陣元間距為dt=8m，第一個(gè)發(fā)射陣元T0在真實(shí)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(0,0,0)m，發(fā)射陣列的單位方向矢量ei=(0,1,0)；接收陣列包含Mr=25個(gè)陣元，陣元間距dr=8m，第一個(gè)接收陣R0在真實(shí)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(0,5 000,0)m，接收陣列的單位方向矢量em=(1,0,0)。采用線陣時(shí)，預(yù)設(shè)參考點(diǎn)O在真實(shí)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(1 000,2 000,5 000)m。發(fā)射信號(hào)為一組正交序列調(diào)制的窄帶信號(hào)，發(fā)射載頻fc=10 GHz，信號(hào)帶寬為0.5 MHz。線形陣列的無模糊成像范圍為[-ll,ll]，ll=cR0/(2dtfc)，根據(jù)以上設(shè)置的仿真條件可知ll=20.539 6m，2ll大于目標(biāo)尺寸，可以進(jìn)行成像。

分別用SBL,PCSBL,IFSBL,PC-IFSBL算法對(duì)散射點(diǎn)模型進(jìn)行成像，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同算法成像灰度圖

對(duì)每個(gè)算法的運(yùn)行時(shí)間記錄如下：

tSBL=1.016 635s,tPCSBL=0.970 744s

tIFSBL=0.521 929s,tPC-IFSBL=0.517 745s

可以發(fā)現(xiàn)PC-IFSBL算法運(yùn)行時(shí)間比傳統(tǒng)貝葉斯算法運(yùn)行時(shí)間縮短近一倍。

采用圖像熵(image entropy, IE)指標(biāo)量化成像效果，比較成像質(zhì)量，定義圖像熵：

(18)

式中：G表示目標(biāo)圖像，Sum{·}表示圖像中元素值的和值。圖像熵可以反映圖像中目標(biāo)的聚集特征，熵值IE越低能量聚焦性能越好。根據(jù)式(18)對(duì)圖3的各成像圖計(jì)算相應(yīng)的灰度熵，可得

IESBL=1.345 9,IEPCSBL=1.3375

IEIFSBL=1.345 7,IEPC-IFSBL=1.314 4

可以發(fā)現(xiàn)PC-IFSBL算法熵值最低，較傳統(tǒng)貝葉斯算法更能實(shí)現(xiàn)區(qū)域高效重構(gòu)。

4 結(jié)論

MIMO雷達(dá)成像時(shí)，傳統(tǒng)稀疏貝葉斯算法無法實(shí)現(xiàn)塊稀疏信號(hào)重構(gòu)，而模式耦合稀疏貝葉斯算法利用實(shí)現(xiàn)塊稀疏信號(hào)的高效重構(gòu)，但算法迭代過程中需要進(jìn)行復(fù)雜的矩陣逆運(yùn)算，文中所提算法在大大降低運(yùn)算時(shí)間的同時(shí)還能高效的實(shí)現(xiàn)目標(biāo)連續(xù)區(qū)域高效重構(gòu)，進(jìn)而更好的用于實(shí)際成像場景。