扇形內接矩形的觀察視角

王銀國

[摘 ? 要]研究扇形內接矩形問題的解決方法，有利于開闊學生視野，提高學生解題能力.

[關鍵詞]扇形;內接矩形;視角

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2019）26-0021-01

人教版數學教材A版必修4第141頁的例4是三角函數的一道綜合應用問題.它的處理較好地涵蓋了三角函數、解斜三角形和函數應用的主要內容，很好地展示了數學應用問題的基本處理方法，是一道經典的三角函數應用題.

【問題】如圖1所示，已知OPQ是半徑為1，圓心角為[π3]的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形內接矩形.記[∠COP=α]，求當角[α]取何值時，矩形ABCD的面積S最大？并求出這個最大面積.

一、一般三角形視角

分析：找出面積S與角[α]的函數關系，再通過求函數S的最大值就可以找到矩形面積的最大值.

方法1：在直角△OBC中 ， [OC=1]， [∠COP=α] ，

所以[BC=sinα]，在△ODC中， ?∠DOC=[π3-α] ，∠ODC=120° ， 其中[0<α<π3] .

由正弦定理得[DCsinπ3-α=OCsin120°] ，所以[DC=sinπ3-αsin120°=2332cosα-12sinα]，

矩形ABCD的面積[S（α）=BC×DC=]

[2332cosα-12sinαsinα][=2332cosαsinα-12sin2α=][2334sin2α-14（1-cos2α）][ =]

[1332sin2α+12cos2α-14][=]

[13sin2α+π6-][143].

由[0<α<π3]得 [π6<2α+π6<5π6]，所以當[2α+π6=π2]，即[α=π6]時 S有最大值[36].

二、直角三角形視角

方法2：如圖1所示，在直角△OBC中，[OB=]

[cosα]，[BC=sinα].在直角△OAD中，[OA=sinα3]，[AB=cosα-sinα3]，矩形ABCD的面積[S（α）=AB×BC=cosα-13sinαsinα].以下處理過程同上.

三、坐標視角

方法3：以OP所在直線為x軸，過O垂直于OP的直線為y軸建立直角坐標系.設[BC=a]，DC所在直線方程為y=[a]，它與圓[x2+y2=1]交點的坐標為（[1-a2]，[a]），OQ所在直線方程為y=[3]x與x=[a]交點坐標為[a3 ， a].

解析幾何方法表達矩形邊長同樣可以求得.[BC=a]， [DC=1-a2-a3].以下處理過程同上.

方法4：設點C的坐標為（cos[α] ，sin[α]），[BC=sinα]， [OB=cosα]，[OA=sinα3]，[AB=cosα-sinα3]，矩形ABCD的面積[S（α）=AB×BC=cosα-13sinαsinα].以下處理過程同上.

上述三種視角處理過程相似，但使用的工具完全不同，它把函數、三角函數、解析幾何三個內容進行了整合，涉及數學學科的主要內容，很好地構建了數學學科的一張知識與思想方法的網絡，體現了處理問題的學科價值.應用問題可以為知識的應用提供似曾相識而又陌生的背景，在陌生的背景下才能讓知識靈活應用.因此知識的應用才是學習的終極目的.

（責任編輯 黃桂堅）