一道考題的解法探討

程雷虎

[摘 ? 要]從不同視角探討一道高中數學試題的解法，以開闊學生視野，提高學生的解題能力.

[關鍵詞]考題;解法;高中數學

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2019）26-0003-02

有的高中數學試題簡潔、靈動，且背景熟悉、設問通俗、解法多樣.這些考題既考查學生的基礎知識和基本能力，又給后續的高中教學指明了方向，起到了良好的導向作用，有較大的研究空間和教學價值，值得我們去探究.下面筆者以一道考題為例，從不同視角探討多種思路和解法.

一、試題呈現

題目： 如圖1所示，菱形[ABCD]的邊長為[2，][∠D=60°，]點[H]為[DC]中點，現以線段[AH]為折痕將菱形折起，使得點[D]到達點[P]的位置且平面[PHA⊥平面ABCH，]點[E，F]分別為[AB，AP]的中點.

（2）求平面[PAH]與平面[PBC]所成銳二面角的余弦值.

二、解法探討

在[△ADH]中，運用余弦定理求得

[AH=AD2+DH2-2AD?DHcos60°=3，]符合勾股數[AH2+DH2=AD2，]有[AH⊥DH，PH⊥AH，]又平面[PHA⊥平面ABCH，]所以[PH⊥平面ABCD.]根據折疊原理和邊角關系，很容易求得[PA=2，PH=1，BH=7，PB=22，PC=2].

其實，此題還有如下多種解法.

解法1：垂面向量法

垂面向量法是教材介紹、大家熟知的一種方法，也是容易上手的一種方法.

該方法需要適當建立空間直角坐標系，通過方程組，求出平面[PBC]的法向量[n1]和平面[PAH]的法向量[n2]，即可求解.

如圖2，建立空間直角坐標系，易得

P（0，0，1），B（[3]，2，0），C（0，1，0），所以[PB=（3 ， 2 ，-1）]，[PC=（0，1，-1）]，設平面[PBC]的法向量為[n1=（x，y，z）]，

由[PB?n1=0，PC?n1=0]得[3x+2y-z=0 ，y-z=0 ，]

得[y=z ，z=-3x .]

取[n1=（1，-3，-3）]，由題意易知平面[PAH]的法向量為[n2=（0，1，0）.]

設平面[PAH]與平面[PBC]所成銳二面角的平面角為[θ，]故

[cosθ=cos=n1?n2n1?n2=37=217.]

解法2：射影面積法

在大小為銳角[θ]的二面角[α-l-β]中，若[α]內面積為[S]的多邊形在[β]內的射影面積為[S′，]則[cosθ=S′S].

因為[CH⊥平面PAH，BA⊥平面PAH，]所以[△PBC]在平面[PAH]內的射影就是[△PAH.]在[△PBC]中，[cos∠BCP=BC2+PC2-PB22×BC×PC=-122，]所以

[S△PBC=12×2×2×sin∠BCP=72，]

又因為[S△PAH=12×1×3=32，]

易得[cosθ=S△PAHS△PBC=3272=217.]

解法3：定義法

用定義法求二面角的大小，首先要過二面角的棱上某點分別在兩個半平面內作出或找到垂直于棱的線段而構成二面角的平面角.本題中的平面[PAH]與平面[PBC]的公共棱在圖形中沒有體現出來，這就需要將兩個平面對外延伸，找出公共棱.

如圖3所示，在原圖形中，根據平面的性質，將[AH]，[BC]延長相交于點[M]，連接[PM]，則[PM]為平面[PAH]與平面[PBC]的公共棱.在[△PHM]中，作[HN⊥PM，]垂足為[N，]連接[CN].

在[△PHM]中，易知[HM=AH=3]，[PM=2]，所以[HN=PH?HMPM=32]，[PN=12.]

在[△PCM]中，[cos∠CPM=PM2+PC2-CM22×PM×PC=PN2+PC2-CN22×PN×PC]，代入數據求得[CN=72]，所以在[△PCN]中，有[PN2+CN2=PC2，]故[CN⊥PM，]所以[∠HNC]為平面[PAH]與平面[PBC]所成二面角的平面角，故由余弦定理知

[cosθ=HN2+CN2-HC22×HN×CN=322+722-122×32×72=217.]

解法4：垂棱向量法

方法介紹：在兩個平面內分別作公共棱的垂線（垂足可以不同），由向量性質及二面角的定義知，兩垂線所在向量的夾角即為二面角的大小（兩向量的起點均為各自的垂足）.

如圖4，建立空間直角坐標系，

[H（0，0，0）]，[P（0，0，1）]，[M（-3，0，0）]， [B（3，2，0）] .

[PM]上任意一點的坐標設為[N（x，y，z）]，不妨設[PN=λPM]，故有[x=-3λ，]

[y=0，z=1-λ]，所以[N（-3λ，0，1-λ）.]

在平面[PAH]內，作[HN1⊥PM，]由[HN1?PM=0，]得[N1H=34，0，-34.]

同理，在平面[PBC]內，作[BN2⊥PM.]由[BN2?PM=0，]得[N2B=32，2，-32.]

故[θ==<4N1H，2N2B>，]所以[cosθ=（4N1H）?（2N2B）4N1H?2N2B=217.]

解法5：等體積法

由解法3，如圖3，[HN⊥PM，]則點[H]到平面[PCM]的距離為[HN?sinθ.]

由于[PH⊥平面HMC，]

所以[VP-HMC=13×1×12×1×3=36.]

又因為[S△PMC=12×142×2=72]且[VH-PMC=VP-HMC]，

所以[13×72×HN?sinθ=36，]求得[sinθ=27，]進而有[cosθ=217.]

解法6：公式法

普通高中課程標準實驗教科書人教版數學教材選修2-1第三章第二節的例2指出：如圖5所示，[α?β=l]，[AC?α ，BD?β]，且[AC⊥l]，[BD⊥β]，則二面角[α-l-β]的余弦值為[AC2+BD2+CD2-AB22AC?BD.]

由解法3，如圖6，[HN⊥PM，] [BK⊥PM，]計算得[HN=32]，[BK=7]，[NK=32]，由公式得[cosθ=HN2+NK2+BK2-BH22HN?BK][=217.]

三、教學建議

1.立足教材素材

本題的素材來源于普通高中課程標準實驗教科書人教版數學教材選修2-1的總復習題B組第（3）題，與高考命題“源于教材，高于教材”的指導思想一致.問題簡潔易懂，表述通俗，意圖清晰，難易適中，學生通過所學知識容易解決.試題立足教材，以教材中的習題為題源，給學生以親切感，同時對教師的教和學生的學起到很好的導向作用.

2.突出通性通法

本題的解法可謂靈活多樣，可以從空間向量的法向量入手，也可以從空間向量的線向量入手，還可以從幾何圖形的定義入手，或者從教材例題的結論入手，還可以從體積的角度入手.從不同的視角可以得到解決問題的不同思路.但不同的思路，運算的繁簡程度也不盡相同.在立體幾何的二面角問題解決中，要抓住空間圖形結構，突出通性通法的考查.在解題教學中，要把通性通法的訓練當作重頭戲，要讓學生獨立思考、嘗試解答，在問題求解中掌握通性通法.

3.提高數學素養

本題的解題思想，大多數學生都會直接用熟悉的、最直接的向量法，而不是垂面向量法.垂面向量法有時會使得計算量很大，學生陷于繁雜的運算中不能自拔，運算容易發生錯誤，導致功虧一簣.另外，垂面向量法的思想是通過兩個平面的法向量來求解二面角的大小，這需要學生能夠精準地判斷所求得的法向量是“穿進”還是“穿出”，這是學生學習中的一個難點，也是容易出錯的一個地方.基于此，如何引導學生理解多種解題思路，使學生養成探究、應用的習慣，提高學生的數學核心素養，應引起教師的高度重視.

（責任編輯 黃桂堅）