全概率公式的課堂教學設計

陳潔

全概率公式是概率論的重要公式之一，也是教學中的重點與難點。本節課由實例出發，利用啟發式的方法對全概率公式進行研究，最后通過例題講解加以鞏固。

1 引言

全概率公式應用廣泛，是概率論中一個非常重要的公式。它是加法公式和乘法公式的綜合運用，也是貝葉斯公式學習的基礎。將由一個簡單實例引入樣本空間的劃分，進而引出全概率公式，加以解釋，并通過典型實例來介紹全概率公式的應用技巧。

2 課堂設計

2.1 引例

科學研究表明，遺傳對智力是有很大影響的，根據醫學統計，生男孩和生女孩的可能性各為50%，而智力遺傳因素都來自X染色體。現在問在孩子智力遺傳因素中，來自母親的可能性有多大？

在考慮孩子智力時，父親和母親都有影響，但僅僅從染色體方面來考慮，誰的影響更大呢？這是我們要考慮的問題。

2.2 展開研討

通過這個有趣的例子，引起學生的興趣，展開研討。在此過程中，由教師引導，學生自主討論，來引出樣本空間的劃分。

設B={智力因素來自母親}，A₁={生的是女孩}，A₂={生的是男孩}。事件B發生，有兩種情況，或者生的是女孩（事件A₁）或者生的是男孩（事件A₂），當B發生是當且僅當發生，即.通過這個式子，啟發學生將樣本空間劃分為A₁和A₂，從而復雜事件B劃分為互不相容的事件的并集，再進一步利用加法公式和乘法公式，抽象出全概率公式。

因此在孩子智力遺傳因素中，來自母親的可能性是0.75.也就是說母親相比父親，在智力遺傳的影響中，母親的影響大多了。

2.3 公式的理解

通過一個生活中的實例，引出全概率公式：

其中是樣本空間的一個劃分，滿足，并且是互不相容的。

公式的證明中，有兩個主要的運算過程：

一個是加法公式

一個是乘法公式

公式應用中，核心是樣本空間的劃分，劃分中有兩個要點，互不相容和不能遺漏。也就是使用全概率公式，必須找到樣本空間的一個分割，而這些事件可以理解為事件B產生的n個原因，將產生B的每一個原因都找出來，這就是“全”的含義，即A_i是B產生的各個原因，公式可以看成是“知因求果”。

2.4 聯系實際，給出例題

為了加強加強公式的實用性，給出與實際生活相關的例子，摒除了傳統教學中枯燥的教學方式。

例1. 某人去外地開會，乘火車、輪船、汽車、飛機的概率分別是0.3， 0.2， 0.1， 0.4，遲到的概率分別是0.25， 0.3， 0.1， 0，求他遲到的概率。

拿到例題之后，不要急著套公式，而是先分析，事件“開會遲到”所有可能的原因是乘坐的交通工具為火車、輪船、汽車、飛機，構成了樣本空間的一個分割，可直接應用全概率公式。也就是在這個例子中，我們先從導致結果發生的若干個原因入手劃分。

解：令B={開會遲到}，A₁={乘火車去}，A₂={乘輪船去}，A₃={乘汽車去}，A₄={乘飛機去}，A_1，A_2，A_3，A₄是樣本空間的一個劃分。

由全概率公式，

例2.甲乙兩文具盒內分別裝有二枝藍色筆和三枝黑色筆，丙從甲文具盒中任取二枝放入乙文具盒內，然后從乙文具盒中任取兩枝筆，求最后取出的二枝筆都是黑色筆的概率。

在實際教學中，可引導學生進行分析，所求概率的事件與前一次實驗的結果有關，可以將前一次實驗的可能結果作為樣本空間的一個分割。第一次取出兩枝筆，有三種結果：2枝藍色筆，1枝藍色筆1枝黑色筆，2枝黑色筆。第一次實驗的結果構成互不相容的事件，所有可能結果作為Ω的一個分割。

解：令B={最后取出的2枝筆都是黑色筆}，A_i={從甲文具盒放入乙文具盒的黑色筆數為i} （i=0，1，2）， A₀，A₁，A₂構成樣本空間的一個分割。

2.5 知識小結

在課堂的末尾，根據本節講授內容，讓學生做一個知識小結：要求復雜事件的概率，先尋找樣本空間的一個分割。樣本空間的劃分一般有兩種情形，如例1中，導致結果的各個原因構成樣本空間的一個分割，如例2中，實驗分2個階段進行，第一階段中的所有可能結果構成樣本空間的一個分割。

3 結語

在本節課的教學中，以一個實際生活例子引入全概率公式，引起了學生的興趣，也讓學生了解到全概率公式是為解決復雜事件的概率產生的。在后面的兩個例子中，引導學生討論如何找到樣本空間的一個分割，加深學生對全概率公式的理解。以學生為主體，通過啟發性的教學方式，逐步培養學生獨立思考和解決問題的能力。

（作者單位：湖北工業大學）