高中數學解題教學中分類討論思想的培養

韓立香

【摘 要】分類討論思想是一種重要的辯證思想，在促進學生發散思維能力，提升學生解題能力方面具有重要的作用。本文立足于高中數學解題教學，就如何促使高中生形成良好的分類討論思想進行了深入探討。

【關鍵詞】高中數學;分類討論思想;培養對策

【中圖分類號】G633.6 ? ? ? 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）22-0216-01

數學解題教學作為高中數學教學的重要組成部分，旨在鍛煉學生的思維能力，提升他們的數學解題能力。分類討論思想是一種重要的數學思想，在優化學生解題思路，提高學生解題質量與效率，促使學生數學核心素養形成方面具有重要的作用，強化分類討論思想培養理念在課堂教學中的滲透顯得尤為重要。

一、分類討論思想在高中數學解題教學中培養的意義

分類討論思想本質上是一種重要的數學思想，核心要素表現在“分類”與“討論”上，具體就是首先通過對某一問題中可能出現的各種情況進行分類處理，然后再針對不同范圍與條件下的問題進行深入討論，以此確保問題求解的全面性。在高中數學解題教學過程中，通過為學生傳授分類討論思想，引導他們樹立分類處理意識、討論意識和整合處理意識，有利于優化學生解題思路，降低學生求解數學問題的難度，提高問題求解的精確度與效率。因此，為了有效地提升高中生的解題能力，教師要善于結合某些具體的數學問題，幫助學生掌握分類討論思想，力求以此不斷地提升學生的解題能力。

二、分類討論思想在高中數學解題教學中培養的對策

1.應用于求解函數問題。

函數問題是高中數學教學中最為常見的一類數學問題，相關的題目類型眾多，并且其中有很多的數學題目本身的不確定性比較明顯，如許多數學題目問題中包含有比較多的參數變量，無法準確確定其取值，這時候最終函數的結果也會因為參數變量的改變而相應地發生改變，這就為分類討論思想的應用提供了一個良好的應用條件。因此，在引導學生求解數學函數問題的過程中，教師可以有效地結合函數分類討論方面的一些理論與思想，依據有關的函數的特征，對函數中涉及到的參數變量進行分類討論，力求可以全面、深入地剖析某個研究對象，這樣可以顯著提升數學問題求解的精確性。

例1：已知函數f（a）=a10-a5+a2-a+1，試求f（a）>0條件下參數a的取值范圍？

解析：在本道數學問題中，函數f（a）本身涉及到多個多項式，它們的底數相同。而指數函數本身具有很強的單調性特性，且單調性情況與底數值的大小情況具有緊密聯系，所以為了更好地解決該道數學問題，就必須要針對底值的大小情況進行分類討論，無法直接得出最終結論。

解：（1）當a<0時，其偶次冪為正數，奇次冪為負數，所以可知f（a）=≥1，故符合題干要求;

（2）當a=0或a=1時，f（a）=1>0，故符合題干要求;

（3）當a>1時，可知a10>a5，a5>a2，所以可知f（a）>1，故符合題干要求;

（4）當00。

綜上所述，在本道題中對任意參數a的取值，都滿足f（a）>0條件。

2.應用于求解概率問題。

概率問題也是一道典型的高中數學問題，是高中數學考試的必考內容。由于概率問題本身涉及到比較大的不確定性，所以在相關問題的求解中也可以通過分類討論思想確保概率問題求解的質量。在求解該概率問題的時候，教師可以指導學生結合題干信息以及相關要求，對相關的數學問題首先進行分類處理，之后再針對不同類別的問題進行相應求解，以此確保問題求解的質量和效率。首先，要確定概率問題的概率類型，對題目信息中給定條件的各個數進行逐個編號，結合研究問題中對象的可能值，利用分類討論思想去明確不同討論狀態下的問題求解結果，最終提升問題求解能力。

例2：在某個國家舉辦奧運火會的時候，該國舉辦了火炬傳遞活動，其中18位火炬傳遞手的編號依次為1，2，3……18，試求從其中任選3人后能夠構成以公差為3等差數列的概率？

解析：該道數學概率題是一道古典概率型問題，其中總數C=17×16×3。為了準確地確定該道數學問題中滿足等差數列的各種結果，避免出現遺漏某一種情況，教師可以引導學生采取分類討論的方式，假定構成的等差數列an=a1+3（n-1）。然后分別探討a1=1，2，3情況下可能存在的各種可能性結果。

解：當a1=1時，火炬手選擇的結果主要可以從1，4，7，10，13和16中選擇，總計可以有4種構成法（1，4，7;4，7，10;7，10，13;10，13，16）。同理，當a1=2時，火炬手選擇的結果可以從2，5，8，11，14和17這幾個編號中選擇，總計有4種可能的結果;當a1=3時，火炬手選擇的結果可以從3，6，9，12，15，18這幾個編號中選擇，總計有4種可能的結果。如此一來，可知最終的概率P=（4+4+4）/C=1/68。

3.應用于求解數列問題。

數列問題也是高中數學解題中比較重要的一類數學問題，由于這部分數學知識的抽象性比較強，學習難度比較大，使得許多高中生在面對的時候常常撓頭，不知道如何下手。特別是在涉及到數列周期性等方面問題時，非常適宜采取分類討論思想，這樣可以有效地提升數列問題求解的質量和效率。比如，針對沒有給出公比q具體值的等比數列問題，需要注意考慮q=1和q≠1等情況，力求確保問題求解的全面性，這樣才能有效地提升數列問題求解的質量。

例3：已知等比數列{an}，其中a1=1，前n項和為Sn，且ak+1，ak+2，ak+3構成等差數列（k∈N），試求：（1）試求數列{an}的公比q;（2）試求Sk+1，Sk+2，Sk+3是否構成等差數列？（k∈N），理由呢？

解析：為了求解該道數列問題，需要先明確數列的公比q，這點可以從數列概念加以提出，而后可以借助前n項和對Sk+1，Sk+2，Sk+3是否為等差數列進行仔細地判定。通過分類討論，最終可以便捷地求解出最終的答案。

解：（1）由于數列中的ak+1，ak+2，ak+3構成等差數列，所以可知：ak+1=qk，ak+2=qk+1，ak+3=qk+2三者構成等差數列，此時可以求得q=1或q=-1/2。

（2）當q=1時，Sk+1=k+1，Sk+2=k+2，Sk+3=k+3，此時Sk+1，Sk+2，Sk+3無法構成等差數列;當q=-1/2的時候，Sk+1=2/3（1-（-1/2）k+1），Sk+2=2/3（1-（-1/2）k+2），Sk+3=2/3（1-（-1/2）k+3），經計算可知：2 Sk+2= Sk+1+ Sk3，所以此時Sk+1，Sk+2，Sk+3為等差數列。

綜上所述，分類討論思想是求解數學問題中一種重要的數學思想，在簡化數學問題，提高學生解題準確度方面的作用非常顯著。因此，在平時的數學解題教學中，教師可以結合具體例題，將分類討論思想在數列、函數以及概率等問題求解中的應用方法傳授給學生，力求有效提升學生的解題能力。

參考文獻

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