薄膜與Helmholtz腔耦合結構低頻帶隙*

陳鑫 姚宏 趙靜波 張帥 賀子厚 蔣娟娜

(空軍工程大學基礎部,西安 710051)

設計了一種含薄膜壁的Helmholtz型聲子晶體,該結構利用了空氣和薄膜的耦合振動,一方面將剛性壁轉變為柔性壁,降低了一階振動時的等效剛度,使第一帶隙下限分別低于同參數下的普通Helmholtz型聲子晶體和薄膜,另一方面基于局域共振原理,由于薄膜的出現和腔口空氣通道長度的增加,使得結構在低頻范圍內存在多個振動模態,從而將原有一個帶隙擴展為多個帶隙.將該結構帶隙上下限分別等效為環形系統和串聯系統,用傳遞矩陣法和有限元法兩種方法計算了其低頻帶隙范圍,兩種方法結果吻合良好.通過調整參數對帶隙調控規律進行了進一步分析,結果顯示,在低頻范圍內,既可以通過改變與腔口空氣通道或薄膜相關的參數,在保證其中某些帶隙變化不大的情況下,單獨調整其他帶隙;也可以通過調整內外腔體積,對所有帶隙進行調控.

1 引 言

自聲子晶體提出以來[1],其一直是聲學領域國內外學者研究重點之一[2?7],另一方面,Helmholtz共振腔這種聲學器件在聲學超材料中有著廣泛的應用[8?12].近年來,利用Helmholtz共振原理構建的聲子晶體及超材料已逐漸由簡單疊加結構[13,14]逐漸發展為長開口[15]、多腔[16]、多開口[17,18]、嵌套[19]、多層復合[20]等結構.

由于空氣密度的限制,僅利用空氣的振動往往無法進一步提升聲子晶體的性能,與此同時,薄膜作為一種輕質材料,其在低頻方面也具有較好的隔聲性能[21?23].能否利用兩種結構的耦合,構建出低頻隔聲性能更好的聲子晶體,就成為值得探討的問題.實際上,近年來已有關于含薄膜的Helmholtz腔仿真研究[24,25],腔體與薄膜耦合[26?28]以及薄膜與穿孔板?腔耦合[29]等結構的研究出現.但薄膜與Helmholtz腔耦合結構的理論計算與聲子晶體帶隙研究仍較少.

本文在之前Helmholtz腔與固/固型聲子晶體的耦合研究[30]基礎上,設計了一種含薄膜壁的Helmholtz型聲子晶體,對其帶隙機理進行了詳細分析,用傳遞矩陣法(transfer matrix method,TMM)和有限單元法(finite element method,FEM)計算了其低頻帶隙上下限.該結構第一帶隙下限分別低于同參數下的普通Helmholtz型聲子晶體和薄膜,且質量小于同尺寸傳統Helmholtz型聲子晶體,進一步提高了Helmholtz腔在小尺寸、輕結構下控制大波長的能力,提高了其在工程上的應用價值.

2 結構設計及其帶隙特性

帶薄膜壁的Helmholtz結構橫截面如圖1所示,其晶格常數為a,腔體框架邊長為l,腔壁厚度為b,在腔右側由懸臂梁形成“W”型開口,其空氣通道總長度為l1=n× (l－b) +b,寬度為s,其中n為懸臂梁的個數.將腔體左側壁更換為厚度為br的硅橡膠薄膜,并在其上黏附有長hs、厚bs的鋁制質量塊,薄膜受到y方向張力T的作用.因框架材料一般為金屬,其聲阻抗一般在空氣的105倍以上,薄膜材料的103倍以上,對帶隙的影響較小,故將其設定為固定約束狀態.

圖1 帶薄膜壁的Helmholtz結構橫截面Fig.1.Cross section of Helmholtz resonator structure with a membrane wall.

取a=53 mm,l=50 mm,b=1 mm,n=2(l1=99 mm),s=1 mm,br=1 mm,hs=5 mm,bs=1 mm,T=1 × 106N/m2,先將其按照第一布里淵區進行掃描,再將其沿縱向對3個元胞結構進行串聯,分別計算得出其在1700 Hz以下的結構能帶圖和隔聲量曲線如圖2所示.從圖2可以看出,其在1700 Hz以下存在3個完全帶隙(灰色區域),分別為88.40－119.06 Hz,302.09－533.03 Hz和772.31－891.44 Hz (各帶隙起止點已在圖中標出),與此同時出現了多個平直帶;其對應隔聲量曲線分別在各帶隙下限處出現了40 dB以上的隔聲峰.若將薄膜也設定為固定約束狀態,則該結構變為普通二維Helmholtz結構,用同樣的方法計算得出的結構能帶圖和隔聲量曲線如圖3所示,其在1700 Hz以下范圍只存在1個完全帶隙(116.60－318.34 Hz),最大隔聲峰為36 dB.同時,通過FEM計算得出其在相同條件下的薄膜基頻為240.59 Hz.

通過以上分析可以發現,將Helmholtz型聲子晶體的一個剛性壁換為帶分布質量的張緊膜后,其低頻隔聲性能得到了提升.具體表現為： 第一帶隙下限得到進一步降低,且同時低于同條件下的普通Helmholtz結構和薄膜結構;出現了新的隔聲峰,且高度高于原有結構;雖然第一帶隙的寬度減小,但在低頻范圍內出現了新的帶隙,使得總帶隙寬度得到提升.

3 帶隙機理及等效模型

為研究薄膜與Helmholtz腔的耦合作用,取該結構前3個帶隙起止點處聲壓場和薄膜振型進行分析,如圖4所示,其中純灰色部分為薄膜振型(位移經放大),右側圖例為聲壓場數值,單位為Pa.

圖2 帶薄膜壁的Helmholtz結構 (a) 帶隙圖;(b) 隔聲曲線Fig.2.Band diagram (a) and transmission spectrum (b) of the Helmholtz resonator structure with a membrane wall.

圖3 普通Helmholtz結構的(a)帶隙圖和(b)隔聲曲線Fig.3.Band diagram (a) and transmission spectrum (b) of the ordinary Helmholtz resonator structure.

圖4 (a) 模態A (88.40 Hz)、(b) 模態B (119.06 Hz)、(c) 模態C (302.09 Hz)、(d) 模態D (533.03 Hz)、(e) 模態E (772.31 Hz)、(f) 模態F (891.44 Hz) 的薄膜振型和聲場壓力圖Fig.4.Vibration mode of the membrane and sound pressure distribution diagrams of point A (88.40 Hz) (a),B (119.06 Hz) (b),C(302.09 Hz) (c),D (533.03 Hz) (d),E (772.31 Hz) (e),and F (891.44 Hz) (f).

從圖4可以看出,在模態A,C,E處,結構聲壓場變化規律完全相同,均為內腔聲壓最大,并通過腔口空氣通道逐漸過渡到外腔.外腔左右兩部分聲壓呈反對稱分布,其中薄膜側為正,腔口側為負,且這種差異隨著帶隙階數的增大而增強,但外腔聲壓和均為零.此時聲波被完全局域在內腔中,振動與外腔無關,與其對應于帶隙下限相匹配.而在模態B,D,F處,結構聲壓場分布與前述相反,內腔聲壓最小,且為負值,通過腔口空氣通道過渡至外腔,外腔聲壓最大.此時振動與內腔外腔都有關,聲波可以在腔外傳播,對應于帶隙上限.

由于膜的振動是各階主振型疊加的結果,通過振型圖僅能推斷某階主振型占主要地位,在后續分析中,將占主要地位的某階主振型稱為其某階振動.從振型圖可以看出,隨著頻率的升高,薄膜振動逐漸由低階轉向高階,但在帶隙上下限處均沒有發現反對稱振型(該種振動模態下薄膜上下位移呈反對稱分布,平均位移為零)的參與.

對于出現多個平直帶的原因,與之前研究得出的結論相同[30],是由薄膜的反對稱振型造成的,這里不再進行討論.

另外,對于模態A,可以看出膜與腔口空氣做同向振動,這樣實際上減小了內腔空氣彈簧剛度,導致第一帶隙下限下降;與此類似,模態B中內腔空氣彈簧剛度增大,外腔減小,但由于兩者體積變化比例不同,其總體剛度是減小的,導致其第一帶隙上限也會下降.

經過以上分析可看出,對于該結構在1700 Hz以下產生的多個帶隙,其不同帶隙上限或下限處聲壓場分布規律均是相同的,只是薄膜振動模態不同,但各帶隙上限和下限的聲壓場分布規律不同.

在此對上下限分別構建等效系統,如圖5所示,其中X1表示薄膜平均位移;X2表示腔口通道內空氣質心位移;N1和N2分別為內腔、外腔對薄膜的總壓力,采用TMM與連續體振動相結合的方法進行計算.

將腔口通道內空氣視為均質彈性桿,其傳遞矩陣[31]為

其中m1=sρal1,ρa為空氣密度,c為在空氣中的聲速,ω為角頻率.設內外腔內空氣在振動過程中壓強均勻,則內腔空氣傳遞矩陣為

外腔空氣的傳遞矩陣為

其中V2,V4分別表示內腔和外腔體積;lr=l－ 2b,為薄膜的長度.

對于薄膜的縱向振動,采用Rayleigh?Ritz法[32]求解,同時考慮張力和彈性模量的影響,其強迫振動方程為

其中Er和ρr分別表示硅橡膠彈性模量和密度;Jr為截面對中性軸的慣性矩;p為薄膜收到的外力.

取基礎函數為?i=1 － cos(2πnx/lr),這種取法計算簡便,但舍棄了反共振振型,故不能計算出平直帶的振動頻率.考慮薄膜上質量塊的分布作用,此時其等效剛度矩陣和等效質量矩陣中各元素為

圖5 (a) 帶隙下限系統示意圖;(b) 帶隙上限系統示意圖Fig.5.(a) System corresponding to starting frequency of band gaps;(b) system corresponding to cut?off frequency of band gaps.

由此可解出特征值矩陣Λ和其對應的特征向量矩陣A.

振動時,薄膜在空氣的作用下,相當于受到周期性均布激振力的作用,設均布力為psinωt,則正則廣義力為

此時方程(4)可寫為

其解為

其中Bi是ATQ(t)的第i個元素除以psinωt后的結果.令η=Aξ,則薄膜在空氣作用下的穩態響應為

則其在振動過程中對空氣造成的最大體積改變量為

其中αij為A中各元素,Ωi為矩陣Λ中對角線元素.

通過各傳遞矩陣及(11)式,可分別對帶隙上下限對應的系統進行求解.

對帶隙下限,設傳遞順序為內腔?腔口,則有

并且,根據薄膜平均位移在TMM和Rayleigh?Ritz法下計算結果應相同,可得

聯立(13)和(14)式可得

同樣,對帶隙上限,設傳遞順序為內腔?腔口?外腔,則有

聯立(17)和(18)式可得

根據(15)與(19)式可分別計算出帶隙下限與帶隙上限的頻率.從這兩式可以看出,在低頻范圍內,式子左端取得零值的主要因素有式中的V(ω)和其他含ω項,其中V(ω)與薄膜的振動模態有關,其他含ω項均來自于彈性桿傳遞矩陣.這說明隨著頻率的增大,每當薄膜或腔口空氣的振動模態發生改變時,都將出現一個新的帶隙,亦即產生了一種新的局域共振模態.另外,由于兩者的耦合性及內外腔空氣的作用,帶隙的上下限將不會出現在原固有頻率處,而是發生一定的偏移.

4 低頻帶隙影響因素研究

為驗證理論計算方法的適用性,并進一步研究帶隙形成規律,用FEM和TMM計算其帶隙上下限頻率隨參數改變的變化情況,并取其前三個帶隙進行分析.在此,除研究的參數外,其余參數與上文中相同.從(15)和(19)式可以看出,影響該結構帶隙的主要參數有V2,V4,l1,s以及與薄膜相關的函數V(ω),在此僅有針對性的選取個別參數進行分析,其中誤差項是以FEM所得結果作為真實值計算得出.

從上文理論計算可發現,薄膜受到張力T、重物質量及分布、薄膜長度lr等因素會并且只會影響薄膜相關的函數V(ω),在此首先選取了重物長度ls作為變量進行分析,結果如表1所列.同時,作為比較,采用FEM計算了同條件下附加金屬片薄膜的縱向振動固有頻率(不含反共振頻率),結果如表2所列.從表1和表2可以看出,增大ls,薄膜一階固有頻率下降,二階固有頻率增大,而結構第二、第三帶隙變化趨勢與之完全相同,變化幅度也很接近,而結構第一帶隙向低頻方向移動,但變化幅度較小.該現象說明此結構在1700 Hz以下新出現的第二、三帶隙分別是由于薄膜出現了前兩階振動模態引起的.而第一帶隙由于仍然對應于腔口空氣的振動,通過增大ls的方式增加等效質量是一種間接的調控方式,對于該帶隙的優化效果并不理想.

另外,當ls較小時,兩種計算結果接近,但當ls＞ 10 × 10－3m后,誤差開始顯著增大,這是由于在用Rayleigh?Ritz法對薄膜進行處理時,僅通過(6)式對分布質量進行了處理,而忽略了附加金屬片對薄膜等效剛度的影響.隨著ls增大,這種影響逐漸增大,導致了誤差不斷增大.

表3顯示的是薄膜張力對帶隙的影響,可以看出,隨著薄膜張力的增大,其各帶隙上下限均有增大的趨勢,但第二、三帶隙的增長幅度大于第一帶隙,這與上文中所得出第二、三帶隙對應于薄膜的振動模態產生和改變相一致.對于第一帶隙,由于其對應的是腔口空氣的振動模態,可在分析時忽略薄膜質量的影響,此時隨著張力增大,結構趨向于剛性壁,其帶隙上下限逐漸與無薄膜結構接近.當張力增大到108N/m2后,其第一帶隙上下限已基本與無薄膜結構一致,且1700 Hz以下已無其他完整帶隙.

表1 薄膜附加金屬片長度l s對低頻帶隙的影響Table 1.Effect of the parameter l s on low?frequency band gaps.

表2 薄膜附加金屬片長度l s對薄膜固有頻率的影響Table 2.Effect of the parameter l s on natural frequency of membrane.

表3 薄膜張力T對低頻帶隙的影響Table 3.Effect of the parameter T on low?frequency band gaps.

腔口空氣通道長度l1對低頻帶隙的影響如表4所列,可以看出,隨著l1的增大,第一帶隙上下限均向低頻方向移動,而第二帶隙下限變化不大,這與上文提出的對應關系相符合.

但第二帶隙上限也不斷下降,特別是當l1大于246 mm后,第三帶隙上下限急劇下降.從帶隙圖分析發現,腔口空氣二階振動對應的帶隙(第四帶隙)隨著l1的增大不斷向低頻方向移動,壓縮了第三帶隙及第二帶隙上限.直至l1=295 mm后,腔口空氣二階振動對應的帶隙下降到薄膜二階振動對應帶隙以下,成為第三帶隙,如圖6所示,腔口空氣表現為中間壓強最大,兩端最小.該現象說明隨著l1的增大,腔口空氣在1700 Hz以下范圍內的振動模態增多,固有頻率下降.實際上,當l1=344 mm時,該結構在1700 Hz以下已有6個帶隙,其分別對應于腔口空氣一階振動、薄膜一階振動、腔口空氣二階振動、薄膜二階振動、腔口空氣三階振動和腔口空氣四階振動.

表4 腔口空氣通道長度l1對低頻帶隙的影響Table 4.Effect of the parameter l1 on low?frequency band gaps.

圖6 l1=295 mm時(a) 第三帶隙下限和(b) 第三帶隙上限的聲場壓力圖Fig.6.Sound pressure distribution diagrams at starting frequency (a) and cutoff frequency (b) of the 3th band gap when l1=295 mm.

表5 內腔體積V2對低頻帶隙的影響Table 5.Effect of the parameter V2 on low?frequency band gaps.

由(15)式可以看出,外腔體積V4不影響帶隙下限,而由(19)式可以看出,對帶隙上限,內腔體積V2與外腔體積V4的作用完全相同,故只對內腔體積V2進行分析,如表5所列.從表5可以看出,隨著V2的增大,各帶隙上下限均向低頻方向移動,這是由于腔體積增加會減小其等效剛度.另外,在此減小V2的方式是在內腔中增加剛性填充物,這種方法會使得內腔形狀不規則,腔內聲壓不均勻,導致誤差上升.但即便剛性填充物占內腔比例達到66% (此時內腔體積為7.07 × 10－4m3),最大誤差仍較小,說明本文采用的理論計算方法也適用于其他較為復雜結構.

從整體上看,該種帶薄膜壁的Helmholtz結構可變參數很多,且各參數對不同帶隙的影響程度不盡相同.因此,在低頻范圍內,既可以通過改變與腔口空氣通道或薄膜相關的參數,在保證其中某些帶隙變化不大的情況下,單獨調整其他帶隙;也可以通過調整內外腔體積,對所有帶隙進行調控.

5 結 論

本文設計了一種含薄膜壁的Helmholtz型聲子晶體,建立了系統等效模型,通過研究發現：1)該結構第一帶隙下限分別低于同參數下的普通Helmholtz型聲子晶體和薄膜,且在1700 Hz以下范圍內將原有一個帶隙擴展為多個帶隙;2)利用TMM與Rayleigh?Ritz法相結合的方式可以較為精確地計算出其帶隙上下限;3)該結構的各帶隙分別對應于腔口空氣和薄膜的各階振型,因此可以通過改變與腔口空氣通道或薄膜相關的參數,在保證其中某些帶隙變化不大的情況下,單獨調整其他帶隙;與此同時,內外腔體積對所有帶隙均有影響,故可通過調整其體積對所有帶隙進行調控.這些結論對構建Helmholtz腔與薄膜耦合聲學超材料具有指導意義,有利于推動低頻隔聲技術的發展.