基于混合拉普拉斯模型和EM算法的圖像降噪方法

張正杰

（蘇州市軌道交通集團有限公司，蘇州 215004）

一般來說，圖像在生成和傳輸過程中常常因受到各種噪聲的干擾和影響而使圖像降質，這對后續圖像的處理將產生不利影響。噪聲可以理解為“妨礙人們的感覺器官對所接受的信源信息理解的因素”。目前，圖像去噪在數字圖像處理技術中的重要性越加明顯。

近年來，小波理論得到了非常迅速的發展，而且由于其具備良好的時頻特性，因而實際應用也非常廣泛。在去噪領域中，小波理論也同樣受到了許多學者的重視，他們應用小波進行去噪，并獲得了非常好的效果[1、2]，具體來說，小波去噪方法的成功主要得益于小波變換具有如下特點[3]：（1）低熵性（2）多分辨率 （3）去相關性（4）選基靈活性。基于這些特點，提出一種基于混合拉普拉斯模型和EM算法的圖像降噪方法。

1 小波去噪問題的描述

設噪聲圖像 G（i，j）=X（i，j）+n（i，j），降除噪聲的問題可以認為是如何將X（i，j）從G（i，j）中恢復出來。對噪聲圖像進行小波變換后得到WG（i，j）=WX（i，j）+n（i，j）。

常用的傳統的低通去噪濾波方法有滑動平均窗（均值濾波方法）、線性濾噪、中值濾波、基于秩-階濾波（排序量）的方法、基于馬爾可夫場模型[4]和基于偏微分方程（PDE）的方法[5]等。用這些方法可以去除大部分的噪聲小波系數，同時較好地保留圖像的高頻細節信號。但仔細分析，不難發現，用這種方法去噪，并沒有考慮圖像本身的能量分布特點，不可避免地會造成各個子帶去噪的不平衡，不利于圖像的恢復。

2 最大后驗估計與混合拉普拉斯模型

2.1 最大后驗估計

設噪聲圖像g=x+n，其中，n是獨立的均值為0的高斯白噪聲，g是觀測到的含有噪聲的信號，x是不含噪聲的原始信號，而在小波域問題就可以被描述成：y=w+n，其中，y是觀測到的含噪信號的小波系數，w是無噪原始信號的小波系數，n為獨立的均值為0的高斯白噪聲。

w的最大后驗估計定義為

定義f（w）=log（Pw（w），這樣通過對對上式求導，并令其為0，即：

便能夠得到w的最大后驗估計。

2.2 單一拉普拉斯模型

有了w的最大后驗估計，接下來便要估計觀測信號小波系數的分布模型，若假設無噪信號的小波系數服從單一的拉普拉斯概率密度函數，則：

2.3 混合拉普拉斯模型

若假設無噪信號的小波系數服從混合拉普拉斯概率密度函數，可得

與y的關系可以表示為：

2.4 混合概率密度函數

本小節將一個拉普拉斯概率密度函數與一個高斯概率密度函數的卷積表示成一個概率密度函數，以方便下節用EM算法進行參數計算。將y=x*n（“*”代表卷積）的概率密度函數簡記為，可得：

3 EM算法

混合模型會有比單獨的概率密度函數更多的參數，而隨著參數數量的增加，通過觀測信號對參數的估計的準確度就會降低，所以選擇適量的參數并對其進行準確的估計很重要，現引入EM算法來解決參數估計的問題。

3.1 EM Algorithm

設給定的訓練樣本是x={x1，x2，…，xm}，樣本間相互獨立，我們想找到每個樣本隱含的類別z，能使得p（x，z）最大。EM是一種解決存在隱含變量優化問題的有效方法。對于每一個樣本i，讓Qi表示該樣本隱含變量z的某種分布，Qi滿足的條件是根據Jensen不等式，要想讓等式成立，需要讓隨機變量變成常數值。對式子做進一步推導可以得到一般的EM算法的步驟如下：

循環重復直到收斂

{

（E步）對于每一個i，計算：

（M步）計算：

}

即E步固定θ，優化Q，M步固定Q，優化θ，循環直至收斂。

3.2 EM算法求解混合拉普拉斯模型參數

E-step：

M-step：

估計混合模型的方差：

4 實驗結果

本論文采用的無噪圖像是一張大小為512×512像素的灰色標準測試圖，只經過灰度化將圖像的三維矩陣轉換成一維矩陣。

4.1 無噪圖像小波系數模型驗證

本節驗證無噪圖像的小波系數是否符合提出的混合拉普拉斯模型，對于混合模型參數的估計也采用EM算法。其結果如圖1-3所示，其中圖1代表無噪圖像第一層小波系數的分布直方圖，圖2代表無噪圖像第二層小波系數的分布直方圖。

圖1 無噪圖像第1層小波系數的分布直方圖

圖2 無噪圖像第2層小波系數的分布直方圖

從結果來看，無噪圖像的小波系數近似符合混合拉普拉斯模型，由EM算法迭代出的參數也符合圖像小波系數的分布。

4.2 噪聲圖像小波系數驗證

本節驗證疊加了噪聲的圖像經小波變換后的小波系數的分布，是否符合混合Lapgauss概率密度函數，疊加的噪聲標準差為10。結果分別如圖3-6所示。其中圖3代表含噪圖像第一層小波系數的分布直方圖，圖4代表含噪圖像第二層小波系數的分布直方圖。

圖3 含噪圖像第1層小波系數的分布直方圖

圖4 含噪圖像第2層小波系數的分布直方圖

從結果來看，噪聲圖像的小波系數分布也符合混合Lapgauss概率密度函數。

4.3 圖像降噪結果

降噪效果分析

經過降噪處理后的圖像其均方根誤差為3.7，相較于疊加的高斯白噪聲標準差為10，經過處理后，圖像的噪聲大小下降了近66.67%，取得了較為不錯的效果。

5 結束語

本文給出了一種基于圖像小波系數分布方法的圖像降噪方法。對實際的標準測試圖像的降噪過程中，驗證其近似符合混合拉普拉斯模型，并利用EM算法計算混合模型的參數，原理簡單、算法清晰、流程明確，在對圖標準圖像的測試中也取得了較為理想的效果，能夠有效并且快速地對圖像進行降噪處理。

但是在本文提出的方法中，主要考慮了當圖像較為符合混合拉普拉斯模型的情況。若圖像的小波系數為其他的分布，或者噪聲為其他分布時，相應的結果便不會很理想，所以對模型以及相應的公式推導還有很大的提升空間。