智能旋翼連續時間高階諧波控制穩定性分析*

周金龍， 董凌華， 楊衛東

(南京航空航天大學直升機旋翼動力學國家級重點實驗室 南京，210016)

引 言

后緣襟翼智能旋翼是一種行之有效的直升機振動主動控制技術[1]。通過安裝在直升機槳葉后緣的襟翼主動偏轉，動態改變旋翼氣動載荷分布，從而達到控制旋翼振動的目的。因其控制效果明顯、驅動機構相對簡單可靠等突出優點，在當前技術條件下具有工程應用潛力，國外研究機構對此進行了廣泛的研究，先后實現了懸停實驗、風洞實驗和真機飛行實驗[2-7]。國內也較早開展了后緣襟翼智能旋翼研究，建立了帶后緣襟翼旋翼氣彈分析方法和模型[8-9]，并進行了智能旋翼振動控制原理驗證實驗，取得了良好的振動控制效果[10]。

后緣襟翼智能旋翼的振動控制效果依賴于后緣襟翼的偏轉運動規律。從直升機旋翼傳遞到機身的振動載荷主要以NΩ的槳轂通過頻率(N=nNb，其中，正整數n=1,2,…;Nb為槳葉片數;Ω為旋翼旋轉頻率)為主，振動載荷在時域呈現出明顯的周期性，因此后緣襟翼的偏轉運動規律通常為單一頻率諧波形式或若干不同頻率諧波疊加而成。后緣襟翼的控制分為開環控制和閉環控制。后緣襟翼開環控制主要以單一頻率諧波為主，通過掃相實驗尋找振動載荷最低時的最優信號相位，主要用于模型旋翼實驗，用以評估后緣襟翼振動控制功效以及后緣襟翼驅動機構工作性能。在實際振動控制中，通常采用閉環控制的方法,利用安裝在旋翼或是機身上的傳感器采集旋翼或機身的振動載荷信號，并將其傳遞到振動控制器中，控制器根據當前的振動載荷信息，采用特定的控制算法，計算得到當前狀態對應的后緣襟翼控制信號，經過功率放大器的放大后驅動后翼緣襟偏轉。

控制器是智能旋翼振動閉環控制系統的核心組成部分之一，其性能和穩定性直接決定智能旋翼的振動控制效果。如果控制器失穩，會表現為控制器輸出信號發散，引起旋翼振動載荷增加，并對后緣襟翼驅動機構產生不利影響。筆者根據縮比模型實驗結果[11-12]建立了后緣襟翼智能旋翼參數模型，并以此為基礎對連續時間高階諧波控制器(continuous-time higher harmonic control, 簡稱CTHHC)參數進行了控制系統的穩定性分析，為后續的智能旋翼閉環控制實驗中控制器的設計與參數調整提供依據。

1 CTHHC控制器

最早出現的智能旋翼為HHC(higher harmonic control，簡稱HHC)旋翼，其驅動器作用于旋翼自動傾斜器不動環，通過在總距和周期變距操縱上疊加更高階的諧波控制成分，達到抑制旋翼振動載荷的目的。由于驅動器串聯在直升機操縱線系中，驅動器失效可能會危及直升機飛行安全，因此HHC旋翼并未得到實際應用，但是應用于HHC旋翼的高階諧波控制算法(higher harmonic control algorithm,簡稱HHCA)，具有算法簡單可靠、控制效果好的突出優點，而被推廣應用于包括后緣襟翼智能旋翼在內的多種形式智能旋翼振動控制中[13-14]。在智能旋翼發展的早期，受當時計算機性能的限制，主要采用離散時間高階諧波控制器(discrete-time higher harmonic control，簡稱DTHHC)。

(1)

其中：zc和zs分別為旋翼振動載荷余弦分量和正弦分量(系統輸出量)；uc和us為后緣襟翼控制輸入余弦分量和正弦分量(系統輸入量)；dc和ds為無控制輸入情況下系統振動載荷的余弦分量和正弦分量；T為智能旋翼傳遞矩陣，代表系統輸入與響應之間的映射關系。

在理想狀態下，若旋翼振動載荷得到完全抑制

(2)

則當前擾動狀態下后緣襟翼控制律可表示為

(3)

由于控制器在計算旋翼振動載荷分量時需要整周期采樣，因此對于DTHHC，旋翼旋轉若干周期，后緣襟翼控制律才能更新一次。隨著計算機運算能力的提高，連續時間高階諧波控制CTHHC成為可能，其控制器框圖如圖1所示。

圖1 CTHHC控制器框圖Fig.1 Block diagram of CTHHC controller

如圖1所示，振動信號被正弦信號sin(NΩt)和余弦信號cos(NΩt)調制后通過積分器，與系統傳遞函數矩陣的逆矩陣-T-1相乘后再經過調制并合成為控制信號。對CTHHC控制器的輸入z(s)和輸出u(s)進行Laplace變換，整理后得到CTHHC控制器傳遞函數為

(4)

其中：NΩ為旋翼振動通過頻率;z(s)為旋翼振動載荷;u(s)為襟翼控制信號。

參數a,b和k定義如下，其中Real和Imag分別代表實部和虛部

(5)

(6)

k=1/Tn

(7)

其中：G(jNΩ)為智能旋翼在通過頻率NΩ處的頻響；Tn為時間常數，通常取旋翼旋轉周期的整數倍。

CTHHC控制器通過對振動信號的高速處理，在每個控制周期都對后緣襟翼控制信號進行更新，對外界擾動的響應速度更迅速。因此當前國外后緣襟翼振動控制普遍選用CTHHC控制器，包括波音SMART全尺寸旋翼風洞實驗[2]、歐直ADASYS項目真機飛行實驗[6]和空客直升機(原歐直)Blue Pulse項目真機飛行實驗[7]，并取得了良好的振動控制效果。

2 后緣襟翼智能旋翼參數化模型

在以往的智能旋翼振動控制仿真計算時，通常采用旋翼氣彈耦合模型計算后緣襟翼在給定運動規律下的旋翼振動載荷輸出。該方法在計算旋翼載荷時可以考慮入流、槳葉氣動力以及結構響應中的非定常非線性因素，計算精度較高，并且有助于研究后緣襟翼振動控制工作原理和指導后緣襟翼工程設計。但是復雜的氣彈耦合分析模型，計算耗時較長，難以滿足CTHHC控制仿真實時性要求。

CTHHC控制器基于線性時不變(linear time invariant，簡稱LTI)假設，即將后緣襟翼智能旋翼系統視為LTI系統。Shin等[14]通過對主動扭轉旋翼實驗數據分析，發現在穩態飛行狀態下主動控制旋翼周期時變特性對振動控制的影響較小，旋翼系統可以簡化為線性時不變系統。根據氣彈耦合計算或實驗數據得到旋翼系統的頻率響應，以傳遞函數的形式構建參數化模型，對智能旋翼系統進行建模能夠在保證一定精度的前提下顯著提高仿真速度。

麻省理工學院進行了后緣襟翼智能旋翼懸停實驗[11]，采用CTHHC控制算法初步實現了振動閉環控制，但并未對CTHHC控制器參數進行詳細分析。該旋翼基于CH-47直升機旋翼馬赫數相似縮比模型，后緣襟翼采用帶有X型放大機構的壓電疊堆驅動器驅動，旋翼參數如表1所示。

表1 旋翼參數

文中以該縮比模型實驗頻響數據為基礎，通過辨識的方式得到系統的傳遞函數，系統的傳遞函數如式(8)所示

(8)

其中：n和m分別為傳遞函數分子和分母的階數。

辨識效果如圖2所示。

圖2 參數化模型和懸停實驗頻率響應Fig.2 Frequency response of parametric model and hover test data

圖2(a),2(b)中的幅頻曲線和相頻曲線顯示所建立的參數化模型能夠較好地反映旋翼系統的頻響特性。擬合得到的參數化模型的零極點分布如圖3所示。由圖3可見，參數化模型零極點分布顯示其極點均位于左半s平面，因此在無控制器情況下該系統自身是穩定的。

圖3 參數化模型零極點分布Fig.3 Zero-pole map of the parametric model

3 后緣襟翼智能旋翼振動閉環控制系統

將建立的參數化模型和CTHHC組合形成如圖4所示的閉環控制系統。圖中：d為后緣襟翼無控狀態下旋翼振動載荷，視為外界對系統的擾動；z為后緣襟翼受控狀態下旋翼振動載荷；u為襟翼控制律；y為對應襟翼控制律下的系統響應。

圖4 旋翼振動閉環控制系統Fig.4 Closed-loop control system for rotor vibration

后緣襟翼智能旋翼振動控制就是通過控制襟翼偏轉u產生適當的系統響應y，抵消擾動d的影響，從而降低旋翼振動z的幅值。受控狀態下振動載荷與擾動間的閉環傳遞函數為

(9)

根據式(4)和式(9)，旋翼通過頻率s=jNΩ是控制器傳遞函數H(s)的極點，在s=jNΩ處閉環系統的頻響幅值無窮小，從而抑制外界擾動d對系統的影響。

圖5 槳轂垂向振動載荷變化Fig.5 Vertical load variation of rotor hub

筆者針對旋翼2Ω通過頻率垂向振動載荷，以正弦信號模擬襟翼無控狀態下旋翼振動載荷，設定其幅值為50 N，取Tn為0.0449 s和0.01 s，開展振動抑制仿真，旋翼振動載荷變化如圖5所示，垂向振動載荷得到了明顯的抑制，證明了CTHHC控制器的有效性，但是當控制器時間常數Tn設置不合理時系統可能存在穩定性問題，因此需要對控制器參數進行詳細分析。

4 CTHHC控制器穩定性分析

4.1 時間常數Tn的影響

為了研究時間常數對控制系統穩定性和穩定裕度的影響，采用Nichols圖的形式顯示不同時間常數設置下開環系統的頻響特性。Nichols圖又稱為對數幅相圖，實際上是將系統開環Bode圖的幅值特性和相角特性整合在一幅圖中，其橫坐標為頻率響應的相角信息，縱坐標為幅值信息。Tn=0.044 9 s時系統的Nichols圖如圖6所示。

圖6 開環傳遞函數Nichols圖Fig.6 Nichols plot of the open-loop transfer function

Nichols圖中細實線為系統閉環增益等高線，Nichols曲線與等高線的交點即為當前頻率下系統的閉環頻響特性，從而通過Nichols圖可以由系統的開環特性得到系統的閉環特性。

通過系統開環幅頻特性Nichols圖可以快速方便地判斷閉環系統的穩定性，并確定系統的穩定裕度。根據Nichols圖判斷穩定性本質上是基于Nyquist判據，Nichols圖中的(-180°,0 dB)點對應于Nyquist圖中的(-1,j0)點，而Nyquist曲線對(-1,j0)點的包圍對應于Nichols曲線對(-180°,0 dB)點的包圍。根據圖3和式4，系統開環傳遞函數G(s)H(s)存在右半s平面零點，但不存在右半s平面極點，因此在Nichols圖中若存在從(-180°,0 dB)點上方通過的情況，系統不穩定，如圖5中Tn=0.01s狀態。Nichols曲線與-180°坐標線、0 dB坐標線的交點到(-180°,0 dB)點的距離就是系統的相角裕度和幅值裕度。

文中實驗模型旋翼轉速為1 336 r/min，旋翼旋轉周期為T=0.044 9 s，分別取Tn為T,2T和3T，得到系統的Nichols圖如圖7～9所示。

圖7 不同Tn下開環傳遞函數Nichols圖Fig.7 Nichols plot of open-loop transfer functions with different Tn

圖8 系統階躍激勵響應Fig.8 System response of step excitation

圖9 不同Tn下振動載荷變化Fig.9 Vertical vibratory loads with different Tn

從圖7可以看出，系統的Nichols曲線隨Tn的增大而下移，控制系統的相角裕度和幅值裕度都顯著增加，系統趨向于更加穩定。不同Tn下系統的單位階躍響應分別如圖8所示，增大Tn會增加系統穩定時間ts，同時可以減小系統在階躍激勵下的過沖σ%和穩態誤差ess。需要說明的是對于直升機振動控制系統而言，CTHHC控制器的作用是抑制旋翼通過頻率振動載荷，穩定性和響應速度是控制器設計的重點。當Tn發生變化時，系統的響應速度也會發生變化，不同Tn下旋翼振動載荷變化如圖9所示，隨著Tn的增加，系統的響應速度逐漸降低。

4.2 延遲τ的影響

在Nichols圖中，Nichols曲線與-180°坐標線、0 dB坐標線的交點到(-180°,0 dB)點的距離分別決定了控制系統的幅值裕度與相角裕度。通過增大Tn可以使Nichols曲線下移，從而增大系統的穩定裕度，但是系統的響應速度也會隨之降低。從圖 6中可以看出，若將Nichols曲線向右移動，也能在一定程度上改善系統的穩定裕度。采用引入延遲環節G(s)=e-τs的方式，調節系統開環傳遞函數的相角特性，實現Nichols曲線橫向移動，可以提高系統的穩定裕度。

將式(5)和式(6)中的G(jNΩ)替換為G(jNΩ)·e-jτNΩ，從而得到系統相角特性改變后的CTHHC控制器參數a和b。固定Tn=0.044 9 s，調整τNΩ的值從而實現Nichols曲線橫向移動，如圖10所示。

從圖 10可以看出， 通過調整τNΩ的值可以改變系統的相角特性，顯著增加控制系統的穩定裕度。圖11分別為不同τNΩ下系統階躍激勵響應。可以看出,調整τNΩ不會對系統過沖σ%、穩態誤差ess帶來顯著影響。Nichols圖在橫向移動的同時也會發生縱向移動，從而可能對系統的響應速度產生影響，但是從圖12可以發現CTHHC控制器仍然能夠迅速抑制旋翼振動載荷，因此通過調整τNΩ來提高系統的穩定裕度是可行的。

圖10 不同相角特性下系統Nichols圖Fig.10 Nichols chart of different phase characteristics

圖11 系統階躍激勵響應Fig.11 System response of step excitation

圖12 不同相角特性下振動載荷變化Fig.12 Vertical vibratory loads with different phase characteristics

5 結束語

筆者建立了后緣襟翼振動控制參數化模型，對控制器不同時間常數和延遲進行了仿真分析，仿真結果表明：a.連續時間高階諧波控制算法能夠有效抑制旋翼振動載荷；b.增大控制器時間常數可以增大系統的穩定裕度，表現在Nichols圖中位系統的開環幅相曲線下移，但是增大時間常數會降低系統的響應速度，影響智能旋翼系統的振動控制性能；c.通過引入延遲環節改變系統的相角特性可以在一定程度上改善系統的穩定裕度，表現在Nichols圖中為系統的開環幅相曲線水平移動，并且調整系統相角特性不會顯著影響振動控制性能；d.為了獲得更好的控制器性能，可以適當選取較小的時間常數，并通過調整系統相角特性來改善系統穩定裕度，使得振動控制系統在響應速度和穩定性間達到平衡。