螺栓結合部切向動力學行為辨識方法*

鄭華林， 徐 林， 胡 騰， 王 輝

(1. 西南石油大學機電工程學院 成都，610500) (2.四川普什寧江機床有限公司 都江堰，611830)

引 言

機械系統通常由多個部件通過不同的聯結方式組合而成，部件之間相互聯結的部位稱為“結合部”。研究表明[1]，結合部動力學表現為柔度與阻尼特性，對機械系統整機服役性能有著重要影響。其中，結合部柔度約占機械系統總柔度的60%～80%，其阻尼約占機械系統總阻尼的90%以上。螺栓聯結作為固定結合部的典型代表，在機械系統中分布最廣，數目最多，對其動力學特性進行研究有利于進行機械系統整機動力學精準建模，可為系統裝配工藝優化提供關鍵理論依據，具有重要的科學意義與工程價值。

針對結合部動力學建模方法，Iranzad等[2]將結合部視作虛擬薄層彈塑性材料，基于虛擬材料模型在不同的負載水平下進行了響應計算與測試，對比驗證了所提建模策略能準確表征機械結合部非線性力學行為。文獻[3-4]利用一系列彈簧-阻尼單元對機械結合部進行了等效，重點研究了結合部的柔性本質。田洪亮等[5]在利用虛擬材料模型研究結合部動力學特性的同時，提出了材料各向同性的假設，并通過增加一個元件可將含結合部的復雜部件等效為不含結合部的簡單零件。李奇志等[6]提出了有效接觸面積剛性連接建模方法，解決了現有方法存在虛擬材料本構關系復雜辨識問題。

目前，結合部動力學行為辨識已成為機械系統整機動力學精準建模過程中亟待解決的關鍵問題。為此，筆者以螺栓結合部切向動力學特性為研究對象，以理論與實驗相結合為研究手段，基于子結構綜合法[14]推導螺栓結合部切向動力學行為辨識基本方程。在此基礎上，求解結合部切向動剛度，并聯合奇異值分解[15]及最小二乘法對結合部切向等效動力學參數進行優化辨識。通過物理實驗對所得參數進行驗證，最終形成較完備的螺栓結合部切向動力學行為辨識方法體系。

1 螺栓結合部切向動力學特性

1.1 螺栓結合部切向等效動力學模型

螺栓結合部屬于“柔性聯結”，在外載荷作用下，其接觸面會產生多自由度阻尼微幅振動，使得結合部表現出既能儲存能量又能消耗能量的特性。因此，在忽略結合部質量的情況下，可將螺栓結合部視作一系列與子結構剛性連接的彈簧-阻尼單元，進而可建立如圖1所示的螺栓結合部切向等效動力學模型。其中：i，n和c，j分別表示子結構1和2的非結合部和結合部區域。

圖1 螺栓結合部切向等效動力學模型Fig.1 Equivalent tangential dynamic model of bolt joint

1.2 基于頻響函數的子結構綜合法

定義子結構1和2為時不變定常線性系統，故在未裝配狀態下其輸入(激勵)f與輸出(響應)x之間的關系為

(1)

(2)

其中：H為子結構頻響函數矩陣；上角標(1)和(2)分別對應子結構1和2。

考慮到結合部與子結構間為剛性連接，故其力平衡條件為

(3)

依據動力學基本方程可得

(4a)

(4b)

其中：Ha與Za分別為結合部頻響函數與動剛度，亦即螺栓結合部動力學行為頻域表征；ω為角頻率；j為虛數單位；m為結合部彈簧-阻尼單元組數。

將式(1)、式(2)式帶入式(4a)中可得

(5)

將式(3)式帶入式(5)可得

(6)

其中

(7)

同理可得

(8)

聯立式(1)，(2)，(6)，(8)可得

(9)

(10)

面向子結構1，2及結合部三者的裝配體，其動力學基本方程為

x(3)=H(3)f(3)

(11)

其中：上角標(3)表示裝配體。

設子結構結合部與非結合部區域的響應與激勵在裝配前后保持不變，即

則式(11)可以改寫為

(12)

由式(9)、式(10)和式(12)可得

(13)

2 螺栓結合部等效動力學參數辨識

將式(13)寫作如下統一形式

(14)

其中：Hα為裝配體與子結構頻響函數之間的關系；Hβ及Hλ為子結構的頻響函數；He為動剛度特性與子結構之間的關系。

令

(15)

式(14)可以表示為

Hα=HβL

(16)

有

(17)

式(15)可改寫為

L=(He=Za+Hjj(2)+Hcc(1))-1Hλ

(18)

借助奇異值分解法變換得

(19)

基于式(19)將等式的實、虛部分離開，令

則式(19)的通式為

(k+jωc)(A+jB)=Q

(21)

按實、虛部相等的原則，式(21)可等價為

(22)

由于頻響函數有多個頻率點，故對應多個k和c。假設頻率分析點數為n，則式(22)可寫改寫為

(23)

其最小二乘解為

(24)

利用上述辨識結果構建螺栓結合部切向動力學數值模型，計算測點頻響函數，并將其與實驗結果進行對比，以驗證所提方法的準確性。因此，螺栓結合部切向動力學行為辨識過程可最終表達為如圖2所示的技術路線。

圖2 螺栓結合部切向動力學行為辨識技術路線Fig.2 Technique flowchart for bolt joint tangential dynamic behaviors identification

3 計算實例與實驗驗證

按照圖2所示技術路線，以某螺栓結合部為研究對象，對其切向動力學行為進行辨識。

3.1 子結構頻響函數計算與驗證

子結構基本尺寸及材料屬性如表1所示?；赥imoshenko梁理論[16]及Hamilton方程[17]，同時借助有限單元法[18](finite element method, 簡稱FEM)構建子結構動力學模型，并針對其正確性予以實驗驗證。以子結構B為例，所建動力學模型如圖3所示。分別計算點3，4位置的頻響函數，進而利用模態錘擊實驗對計算結果進行驗證。

圖4所示為子結構B跨點頻響H34計算值與實驗值對比，可見兩曲線吻合程度很高，在特征峰1和2處，對應頻率誤差分別為0.49%和0.99%，對應幅值誤差分別為1.35%和3.27%。此外，子結構B點3和4位置原點頻響函數H33和H44計算值與實驗值誤差亦很小，說明所提子結構動力學模型構建方法及頻響計算結果具有較高準確度。

類似地，利用上述方法對子結構A進行動力學建模，計算測點1和2位置(如圖5(a)所示)頻響函數并予以了實驗驗證。

表1 子結構基本尺寸及材料屬性

Tab.1 Basic dimensions and material propertiesof substructures

參數子結構A子結構B材料合金鋼鑄鐵長度/mm450450寬度/mm6464厚度/mm3030材料密度/(kg·m-3)7 8507 300彈性模量/GPa206130泊松比0.30.25

圖3 子結構B及其有限單元模型(單位：mm)Fig.3 Substructure B and its FE model (unit:mm)

圖4 子結構B頻響H34Fig.4 Substructure B FRF H34

3.2 裝配體頻響函數測試

利用M16高強度螺栓對子結構A和B進行聯結，預緊力矩為50 N·m，基于DEWESoft振動測試系統對該裝配體進行模態錘擊實驗，測點位置與子結構動力學建模過程中保持一致，如圖5(a)所示。

實驗平臺搭建如圖5(b)所示，測試頻率范圍為0～5 kHz，采樣頻率取12.8 kHz。

圖5 錘擊模態實驗Fig.5 Impact modal test

考慮到實驗現場環境噪聲的干擾，對裝配體同一激振點錘擊4次，并取4次信號平均值以提高信噪比。通過數據采集前端激勵與響應信號，獲得裝配體切向1，4位置原點及跨點頻響函數H11，H14和H44。測試過程相干總體較好，局部存在突變。如圖6所示為H11測試結果及其相干函數(相干函數無量綱，取值范圍為0～1)，雖在3 700 Hz左右相干發生突變，但對應著結構響應反共振特征，故總體而言仍顯示出頻響實測數據具備高可信度。

圖6 裝配體頻響H11及其相干Fig.6 Assembly structure FRF H11 and its coherence

3.3 螺栓結合部切向動力學行為辨識與驗證

3.3.1 螺栓結合部頻響特性辨識及驗證

圖7 結合部頻響H32Fig.7 Joint FRF H32

將3.1和3.2節所得數據帶入式(19)即可得螺栓結合部動剛度特性。由于結合部動剛度與其位移頻響函數互逆，故通過結合部頻響曲線亦可直觀反映結合部動剛度特性。借助圖5(b)中的實驗平臺提取測點2，3位置切向頻響函數H32，并與計算值進行對比，如圖7所示。特征峰1，2對應頻率誤差分別為0.87%，1.32%；對應幅值誤差分別為3.42%，9.08%。表明所提基于頻響函數的子結構綜合法可有效，能準確地辨識螺栓結合部切向動力學特性。

3.3.2 螺栓結合部等效動力學參數辨識與驗證

通過式(24)對螺栓結合部切向等效動力學參數進行最小二乘優化辨識，結果如表2所示。利用所得參數建立螺栓結合部切向動力學數值模型，并在此基礎上計算裝配體頻響函數H11，H11計算值與實驗值對比如圖8所示。

表2 等效參數辨識結果

圖8 裝配體頻響H11Fig.8 Assembly structure FRF H11

可以看出，裝配體頻響H11計算值與實驗值吻合程度較高，特征峰1，2和3對應頻率誤差分別為1.38%，1.51%和0.84%。然而，圖8亦顯示出裝配體頻響H11計算值與實驗值在幅值方面存在較顯著誤差，表明螺栓結合部等效動力學參數數辨識精度存在一定差異。由于頻響函數特征峰的頻率與幅值分別取決于結構剛度與阻尼，說明螺栓結合部切向等效剛度的辨識較精確，而等效阻尼的辨識精度仍有較大提升空間。究其原因，主要在于現階段對機械系統阻尼特性研究還不完善。盡管如此，圖8中特征峰1對應幅值誤差僅為1.69%，說明等效阻尼辨識結果對于討論裝配體第1階主模態附近的動力響應已具備足夠精度。因此，所提螺栓結合部切向動力學行為辨識方法切實可行，結合部切向等效動力學參數辨識結果可直接用于精準建立機械系統裝配體動力學數值模型，且在頻率及低階響應層面具有足夠的計算準確度。

4 結束語

面向螺栓結合部切向動力學行為提出了一套較完善的研究方法體系。以理論與實驗相結合為研究手段，基于子結構綜合法對螺栓結合部切向動力學特性進行了理論推導，沿用優化設計的思想，借助最小二乘法辨識了螺栓結合部切向等效剛度與阻尼。利用所得參數構建了螺栓結合部切向動力學數值模型，據此計算了相關測點頻響函數并與實驗測試值進行了對比。結果表明，頻響函數特征峰對應頻率誤差分別為1.38%，1.51%和0.84%，特征峰1對應幅值誤差為1.69%。驗證了所提方法體系能有效辨識螺栓結合部切向動力學行為，優化所得切向等效剛度具有較高精度，等效阻尼辨識精度有待提高，但對于分析結構低階動力響應已具備足夠精確性。